Examkin

Question

Difficulty: Very hardKüme Problemleri

Bir araştırma merkezinde çalışan 4545 bilim insanının tamamı; Astrobiyoloji, Jeokimya ve Klimatoloji laboratuvarlarının en az birinde görev yapmaktadır.

Bu araştırmacılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısı, Jeokimya laboratuvarında çalışanların sayısının 22 katıdır.
* Sadece iki laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısı, sadece bir laboratuvarda çalışan araştırmacıların toplam sayısının yarısıdır.
* Her üç laboratuvarda da çalışan araştırmacı sayısı, sadece Astrobiyoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısına eşittir.
* Astrobiyoloji laboratuvarında çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı 1212'dir.
* Klimatoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Astrobiyoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı ile Astrobiyoloji ve Jeokimya laboratuvarlarının her ikisinde de çalışıp Klimatoloji laboratuvarında çalışmayan araştırmacı sayısı birbirine eşittir.
* Laboratuvarların herhangi ikisinde çalışıp üçüncüsünde çalışmayan araştırmacı sayıları sıfırdan farklıdır.

Buna göre, bu araştırmacılardan kaç tanesi sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışmaktadır?

Answer: 14 kişi

Answer

Sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14'tür.
Verilen sözel kısıtlar denklem sistemine döküldüğünde ve eleman sayılarının pozitif tam sayı olması ile kesişim bölgelerinin sıfırdan büyük olması şartları uygulandığında, tüm bölgelerin eleman sayıları benzersiz şekilde belirlenir. Bu doğrultuda sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışan araştırmacı sayısı 14 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kümeleri ve bölgeleri harflendirerek toplam mevcut denklemini kurmak
Astrobiyoloji (AA), Jeokimya (JJ) ve Klimatoloji (KK) kümeleri için bölgeleri tanımlayalım: Sadece bir laboratuvarda çalışanlar a,j,ka, j, k; sadece iki laboratuvarda çalışanlar x,y,zx, y, z; her üçünde çalışanlar tt olsun. Toplam mevcut: a+j+k+x+y+z+t=45a + j + k + x + y + z + t = 45 olur.
Soruda verilen küme ilişkilerini cebirsel olarak ifade edebilmek için.
2
Verilen oranları ve kısıtları denklemlerle eşleştirmek
a+j+k=2(x+y+z)a + j + k = 2(x + y + z) olduğundan ana denklemde yerine yazılırsa: 3(x+y+z)+t=453(x + y + z) + t = 45 elde edilir. Ayrıca, t=at = a, a+x=12  ⟹  x=12−ta + x = 12 \implies x = 12 - t ve y=x  ⟹  y=12−ty = x \implies y = 12 - t eşitlikleri bulunur.
Bilinmeyen sayısını azaltarak ortak bir denklem elde etmek için.
3
Elde edilen eşitlikleri ana denklemde yerine koyup sadeleştirmek
3(12−t+12−t+z)+t=45  ⟹  3(24−2t+z)+t=45  ⟹  72−5t+3z=45  ⟹  3z=5t−273(12 - t + 12 - t + z) + t = 45 \implies 3(24 - 2t + z) + t = 45 \implies 72 - 5t + 3z = 45 \implies 3z = 5t - 27 bağıntısı elde edilir.
zz ve tt değişkenleri arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek için.
4
Tam sayı ve pozitiflik kısıtlarını kullanarak tekil çözümü bulmak
Herhangi iki laboratuvarda çalışanların sayısı sıfırdan farklı olduğu için x=12−t>0  ⟹  t<12x = 12 - t > 0 \implies t < 12 ve z=5t−273>0  ⟹  t>5.4z = \frac{5t-27}{3} > 0 \implies t > 5.4 olmalıdır. Bu aralıkta (6≤t≤116 \le t \le 11) 5t−275t - 27 ifadesini 3'ün katı yapan tek değer t=9t = 9'dur. Buradan a=9a = 9, x=3x = 3, y=3y = 3, z=6z = 6 bulunur.
Kümelerin eleman sayılarının pozitif tam sayı olma kısıtını uygulamak için.
5
Kalan değişkenler için iki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek
a+j+k=2(x+y+z)  ⟹  9+j+k=24  ⟹  j+k=15a + j + k = 2(x + y + z) \implies 9 + j + k = 24 \implies j + k = 15 olur. Klimatoloji çalışanları (k+y+z+tk + y + z + t), Jeokimya çalışanlarının (j+x+y+tj + x + y + t) 2 katı olduğundan: k+3+6+9=2(j+3+3+9)  ⟹  k+18=2j+30  ⟹  k−2j=12k + 3 + 6 + 9 = 2(j + 3 + 3 + 9) \implies k + 18 = 2j + 30 \implies k - 2j = 12 elde edilir. Bu iki denklemin ortak çözümünden j=1j = 1 ve k=14k = 14 bulunur.
İstenen sadece Klimatoloji laboratuvarında çalışanların sayısına (kk) ulaşmak için.

Key Concept

Küme problemlerinde alt küme bölgelerinin harflendirilerek denklem sistemine dönüştürülmesi ve tam sayı kısıtları altında çözülmesi.
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic