Tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tanımlı oldu… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Tanım ve değer kümeleriyle birlikte verilen aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tanımlı olduğu aralıklarda bire bir ve örtendir?

A
$f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ , $f(x) = 3x - 2$
B
$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $g(x) = |x| + x$
C
$h: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $h(x) = x + 2$
$k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , $k(x) = \frac{2}{x}$ Answer
E
$s: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , $s(x) = x^2 + 1$

Answer

k: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \{0\}

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

Sıfırdan farklı gerçel sayılardan sıfırdan farklı gerçel sayılara tanımlı

x \mapsto \frac{2}{x}

fonksiyonunda, her

x

değeri için benzersiz bir görüntü oluşur (bire birlik) ve sıfır dışındaki tüm gerçel sayılar bir girdinin görüntüsü olarak elde edilebilir (örtenlik).

Step-by-Step Solution

Bire birlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsünün de farklı olması gerekir.

k(x) = \frac{2}{x}

için

k(x_1) = k(x_2) \implies \frac{2}{x_1} = \frac{2}{x_2} \implies x_1 = x_2

olduğundan bire birdir.

Bir fonksiyonun bire bir olup olmadığını belirlemek için farklı girdilerin farklı çıktılar verdiğini doğrulamalıyız.

Örtenlik tanımını her seçenek için kontrol etme

Değer kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır.

k(x) = \frac{2}{x}

fonksiyonunda değer kümesinden seçilen her

y \neq 0

için tanım kümesinde

x = \frac{2}{y} \neq 0

elemanı mevcuttur ve

k(x) = y

olur. Dolayısıyla örtendir.

Örtenliği kontrol etmek için değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olduğunu göstermeliyiz.

Key Concept

Bire bir fonksiyonlarda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşirken, örten fonksiyonlarda değer kümesinde eşleşmeyen eleman kalmaz.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic