Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için
a+b a + b
a⋅b a \cdot b
ab \frac{a}{b}
sayılarından yalnızca biri irrasyonel sayıdır.

Buna göre;
I. a2+b2a^2 + b^2
II. (a+b)2(a+b)^2
III. a2⋅b2a^2 \cdot b^2

ifadelerinden hangileri kesinlikle bir rasyonel sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIAnswer
  3. C
    Yalnız III
  4. D
    I ve II
  5. E
    II ve III

Answer

Yalnız II
Verilen üç durumun tamamında (a+b)2(a+b)^2 ifadesinin değeri her zaman bir rasyonel sayıya eşit çıkmaktadır. Dolayısıyla yalnızca ikinci öncül her zaman rasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen üç ifadeden (a+ba+b, a⋅ba \cdot b, a/ba/b) tam olarak birinin irrasyonel, diğer ikisinin rasyonel olduğu durumları belirleyelim.
��ç olası durum vardır:
1) a+ba+b ve a⋅ba \cdot b rasyonel iken a/ba/b irrasyoneldir.
2) a+ba+b ve a/ba/b rasyonel iken a⋅ba \cdot b irrasyoneldir.
3) a⋅ba \cdot b ve a/ba/b rasyonel iken a+ba+b irrasyoneldir.
Soruda verilen 'yalnızca biri irrasyonel sayıdır' koşulunu matematiksel olarak analiz etmek için tüm durumları ayırarak incelememiz gerekir.
2
Birinci durumu (a+ba+b ve a⋅ba \cdot b rasyonel, a/ba/b irrasyonel) inceleyelim.
a+b=q1∈Qa+b = q_1 \in \mathbb{Q} olsun. Bu durumda (a+b)2=q12∈Q(a+b)^2 = q_1^2 \in \mathbb{Q} olur.
Rasyonel sayıların karesi de rasyonel olduğundan, birinci durumda (a+b)2(a+b)^2 kesinlikle rasyoneldir.
3
İkinci durumu (a+ba+b ve a/ba/b rasyonel, a⋅ba \cdot b irrasyonel) inceleyelim.
a/b=q2∈Qa/b = q_2 \in \mathbb{Q} ve a+b=q1∈Qa+b = q_1 \in \mathbb{Q} olsun. Buradan a=q2ba = q_2 b elde edilir. Bu eşitliği toplamda yerine yazarsak b(q2+1)=q1b(q_2 + 1) = q_1 olur. Eğer q2≠−1q_2 \neq -1 olsaydı, b=q1q2+1b = \frac{q_1}{q_2 + 1} rasyonel sayı olurdu ve dolayısıyla a=q2ba = q_2 b de rasyonel olurdu. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olacağından a⋅ba \cdot b rasyonel olurdu, bu da a⋅ba \cdot b'nin irrasyonel olmasıyla çelişirdi. Dolayısıyla bu durumda q2=−1q_2 = -1 olmak zorundadır. Buradan a=−ba = -b ve a+b=0a+b = 0 elde edilir. Bu durumda da (a+b)2=0∈Q(a+b)^2 = 0 \in \mathbb{Q} olur.
İkinci durumun gerçekleşmesi ancak ve ancak a=−ba = -b ve toplamın sıfır (yani rasyonel) olmasıyla mümkündür.
4
Üçüncü durumu (a⋅ba \cdot b ve a/ba/b rasyonel, a+ba+b irrasyonel) inceleyelim.
a⋅b=q1∈Qa \cdot b = q_1 \in \mathbb{Q} ve a/b=q2∈Qa/b = q_2 \in \mathbb{Q} olsun. Buradan a2=(a⋅b)⋅(a/b)=q1q2∈Qa^2 = (a \cdot b) \cdot (a/b) = q_1 q_2 \in \mathbb{Q} ve b2=(a⋅b)/(a/b)=q1/q2∈Qb^2 = (a \cdot b) / (a/b) = q_1 / q_2 \in \mathbb{Q} bulunur. (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ifadesini açarsak; a2∈Qa^2 \in \mathbb{Q}, b2∈Qb^2 \in \mathbb{Q} ve 2ab=2q1∈Q2ab = 2q_1 \in \mathbb{Q} olduğundan, bu üç rasyonel sayının toplamı olan (a+b)2(a+b)^2 de kesinlikle rasyonel bir sayıdır.
Rasyonel sayıların toplamaya göre kapalılık özelliğini kullanarak (a+b)2(a+b)^2 ifadesinin bu durumda da rasyonel olduğunu gösteririz.
5
Diğer ifadelerin (a2+b2a^2 + b^2 ve a2⋅b2a^2 \cdot b^2) her zaman rasyonel olup olmadığını karşıt örneklerle kontrol edelim.
İkinci durum için b=38b = \sqrt[8]{3} ve a=−38a = -\sqrt[8]{3} seçelim. Bu durumda a+b=0∈Qa+b = 0 \in \mathbb{Q} ve a/b=−1∈Qa/b = -1 \in \mathbb{Q} rasyoneldir. Ancak a⋅b=−34a \cdot b = -\sqrt[4]{3} irrasyoneldir (koşul sağlanır). Bu durumda a2+b2=234a^2 + b^2 = 2\sqrt[4]{3} ve a2⋅b2=3a^2 \cdot b^2 = \sqrt{3} ifadelerinin her ikisi de irrasyonel olur. Dolayısıyla I ve III kesinlikle rasyonel değildir.
Verilen önermelerden hangilerinin kesinlikle doğru olduğunu bulmak için karşıt örnek tekniğini kullanırız.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri ve kapalılık kuralları

Alternative Method

Alternatif olarak, sayıların rasyonel olması durumunda cebirsel kapalılık özelliklerini doğrudan kullanarak her durum için değerleri birer rasyonel değişken cinsinden (q1,q2q_1, q_2) yazarak ifadelerin rasyonelliğini doğrudan kontrol edebiliriz.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic