Bire bir ve örten f ve g fonksiyonları için f\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = g(2x + 1)\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, (g^{-1} \circ f)(4) ifadesinin değeri kaçtır?

Bire bir ve örten f ve g fonksiyonları için f\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = g(2x + 1)\neş… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bire bir ve örten

f

g

fonksiyonları için

f\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = g(2x + 1)

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $(g^{-1} \circ f)(4)$ ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 7'dir.

Verilen eşitlikte

f

fonksiyonunun girdisini 4 yapmak için

x = 3

yazılması gerektiği belirlenir. Bu değer eşitliğin sağ tarafında yerine yazıldığında

f(4) = g(7)

eşitliği elde edilir. Ters fonksiyon tanımı gereği,

g(7) = f(4)

ise

g^{-1}(f(4)) = 7

olur. Bu da bizden istenen

(g^{-1} \circ f)(4)

ifadesinin değeridir.

Bileşke ve ters fonksiyon tanımını kullanarak istenen ifadeyi düzenleyin.

(g^{-1} \circ f)(4) = g^{-1}(f(4))

yazılır. Bu ifadenin değerini bulmak için

f(4)

değerinin hangi

g

değerine eşit olduğunu bulmamız gerekir.

Bileşke fonksiyon işlemi d��ştan içe doğru çözümlenir ve ters fonksiyon özelliği kullanılır.

f

fonksiyonunun girdisini 4 yapan

x

değerini bulun.

\frac{3x - 1}{2} = 4 \implies 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3

bulunur.

f(4)

değerini elde edebilmek için verilen eşitlikte

f

fonksiyonunun parantez içindeki ifadesini 4'e eşitlememiz gerekir.

Bulunan

x = 3

değerini ana eşitlikte yerine yazın.

f\left(\frac{3(3) - 1}{2}\right) = g(2(3) + 1) \implies f(4) = g(7)

elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafında aynı

x

değerini yazarak

f(4)

ile

g

fonksiyonu arasındaki ilişkiyi kurarız.

Ters fonksiyon özelliğini uygulayarak sonucu bulun.

f(4) = g(7) \implies g^{-1}(f(4)) = 7

olur. Dolayısıyla

(g^{-1} \circ f)(4) = 7

'dir.

g(a) = b \iff g^{-1}(b) = a

temel kuralı uygulanır.

Bir fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki ilişkiyi (

g(a) = b \iff g^{-1}(b) = a

) ve bileşke fonksiyonun özelliklerini kullanma.