Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

xx gerçel sayısı için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin bir rasyonel sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

I. xx bir rasyonel sayıdır.
II. (x+1)2(x+1)^2 bir rasyonel sayıdır.
III. xx irrasyonel sayı ise x2−2xx^2 - 2x de irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
İkinci öncüldeki ifade (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 biçiminde açıldığında, rasyonel olduğu bilinen bir ifadeye rasyonel bir tam sayı olan 1 eklenmektedir. Rasyonel sayılar kümesi toplama işlem altında kapalı olduğu için bu toplam yine bir rasyonel sayıdır. Üçüncü öncülde ise, eğer xx irrasyonel iken x2−2xx^2 - 2x ifadesi rasyonel olsaydı, rasyonel olan x2+2xx^2 + 2x ifadesinden bu ifade çıkarılarak elde edilen 4x4x rasyonel olurdu, bu da xx'in rasyonel olmasını gerektirirdi. Bu bir çelişki oluşturduğundan x2−2xx^2 - 2x kesinlikle irrasyoneldir.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncülü incelemek amacıyla karşıt örnek oluşturma.
x2+2x=1x^2 + 2x = 1 denklemi kurulur. Bu denklemin kökleri x=−1±2x = -1 \pm \sqrt{2} olup irrasyoneldir. Dolayısıyla xx rasyonel olmak zorunda değildir.
Bir öncülün kesinlikle doğru olmadığını göstermek için aksine bir örnek bulmak yeterlidir.
2
İkinci öncüldeki ifadeyi cebirsel olarak açma ve rasyonel sayıların özelliklerini kullanma.
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 yazılır. x2+2xx^2 + 2x rasyonel olduğundan, buna rasyonel bir sayı olan 1 eklendiğinde elde edilen (x+1)2(x+1)^2 de kesinlikle rasyonel olur.
Rasyonel sayıların toplama işlemine göre kapalı olması özelliğini kullanmak.
3
Üçüncü öncül için çelişkiyle kanıt (olmayana ergi) yöntemini uygulama.
x2+2x=qx^2 + 2x = q (rasyonel) ve x2−2x=px^2 - 2x = p (rasyonel olsun). Taraf tarafa çıkarma yapıldığında (x2+2x)−(x2−2x)=q−p  ⟹  4x=q−p  ⟹  x=q−p4(x^2 + 2x) - (x^2 - 2x) = q - p \implies 4x = q - p \implies x = \frac{q-p}{4} elde edilir. Rasyonel sayıların farkı ve bölümü rasyonel olduğundan xx rasyonel olmalıdır. Bu durum xx'in irrasyonel olması varsayımı ile çelişir. Demek ki x2−2xx^2 - 2x rasyonel olamaz, irrasyonel olmalıdır.
İki ifadenin de rasyonel olması durumunda xx'in de rasyonel olmak zorunda kalacağını göstererek çelişki elde etmek.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık özelliği ve çelişki yöntemi ile ispat.
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic