Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri

Bir xx gerçel sayısı için

x+94xx + \frac{9}{4x}

ifadesinin bir tam sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı xx rasyonel sayısı vardır?

Answer: 6 adet

Answer

Bu koşulu sağlayan rasyonel sayıların sayısı 6'dır.
Verilen rasyonel ifadenin tam sayı olmasını sağlayan rasyonel sayılar x=p/qx = p/q şeklinde yazıldığında, bölünebilme analizi sonucunda paydanın q=2q=2 ve payın p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} olması gerektiği görülür. Bu durum ±1/2\pm 1/2, ±3/2\pm 3/2 ve ±9/2\pm 9/2 olmak üzere tam 6 adet rasyonel sayı değeri üretir.

Step-by-Step Solution

1
Rasyonel sayı tanımını uygulayarak x=p/qx = p/q şeklinde yazılması
x=pqx = \frac{p}{q} (burada p,q∈Zp, q \in \mathbb{Z}, q>0q > 0 ve obeb(p,q)=1\text{obeb}(p, q) = 1)
Her rasyonel sayı, aralarında asal iki tam sayının oranı biçiminde tek şekilde yazılabilir.
2
İfadeyi düzenleyerek tek bir rasyonel kesir haline getirmek ve tam sayıya eşitlemek
4p2+9q24pq=k\frac{4p^2 + 9q^2}{4pq} = k (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Toplama işlemini gerçekleştirerek bölünebilme analizi yapabilmek.
3
Paydadaki çarpanların payı bölme koşullarını incelemek
qq sayısı 44'ü, pp sayısı ise 99'u bölmelidir.
pp ve qq aralarında asal olduğundan, paydadaki qq çarpanı paydaki 4p24p^2 terimini bölmek için 44'ü bölmelidir. Benzer şekilde paydadaki pp çarpanı 99'u bölmelidir.
4
Eşitliğin her iki tarafının 4 ile bölünebilirliğini kontrol etmek
9q29q^2 sayısı 44'ün katı olmalı, dolayısıyla qq çift sayı olmalıdır.
4p2+9q2=4kpq4p^2 + 9q^2 = 4kpq denkleminde 4p24p^2 ve 4kpq4kpq çift ve hatta 4'ün katıdır, bu yüzden kalan terim de 4'ün katı olmalıdır.
5
q=4q=4 olasılığını değerlendirmek
q=4q=4 için p2+36=4kp  ⟹  p2=4(kp−9)p^2 + 36 = 4kp \implies p^2 = 4(kp - 9) olur ki bu pp'nin çift olmasını gerektirir. Ancak pp ve qq aralarında asal olduğundan pp tek olmalıdır. Bu çelişki nedeniyle q=4q = 4 olamaz.
Aralarında asallık özelliğinin korunması gerekliliğini test etmek.
6
q=2q=2 olasılığını değerlendirip olası pp değerlerini bulmak
q=2q=2 için p2+9=2kpp^2 + 9 = 2kp elde edilir. 9'un tek bölenleri olan p∈{±1,±3,±9}p \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 9\} değerlerinin hepsi bu eşitliği sağlayan bir kk tam sayısı üretir. Bu da 6 farklı çözüm (x=±1/2,±3/2,±9/2x = \pm 1/2, \pm 3/2, \pm 9/2) anlamına gelir.
Tüm olası çözümleri listeleyerek toplam sayıyı belirlemek.

Key Concept

Rasyonel sayı kümesinin tanımı, rasyonel ve tam sayı kümeleri arasındaki temel farklar ve bölünebilme teorisi.
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic