Examkin

Question

Difficulty: Very hardİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
x2−(a−1)x+2a−5=0x^2 - (a - 1)x + 2a - 5 = 0

denkleminin birbirinden farklı gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

∣x12x2+x1x22∣=3|x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2| = 3

olduğuna göre, aa nın alabileceği gerçel sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    72\frac{7}{2}
  2. B
    3
  3. 12\frac{1}{2}Answer
  4. D
    92\frac{9}{2}
  5. E
    4

Answer

12\frac{1}{2}
Doğru cevap olan 12\frac{1}{2} değeri, mutlak değerli denklemi sağlayan değerlerden orijinal denklemin diskriminantını sıfırdan büyük yapan ve köklerin birbirinden farklı gerçel sayılar olmasını sağlayan tek gerçel değerdir.

Step-by-Step Solution

1
Kök-katsayı ilişkilerini aa parametresi cinsinden yazın.
x1+x2=a−1x_1 + x_2 = a - 1 ve x1⋅x2=2a−5x_1 \cdot x_2 = 2a - 5
İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} ve kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülleriyle hesaplanır.
2
Verilen köklü ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
∣x1⋅x2(x1+x2)∣=3|x_1 \cdot x_2 (x_1 + x_2)| = 3
x12x2+x1x22x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 ifadesi x1x2x_1 x_2 ortak parantezine alındığında kökler toplamı ve çarpımı elde edilir.
3
Elde edilen ifadeleri yerine yazıp mutlak değerli denklemi çözün.
∣(2a−5)(a−1)∣=3|(2a - 5)(a - 1)| = 3

Buradan iki durum incelenir:
1) (2a−5)(a−1)=3  ⟹  2a2−7a+2=0  ⟹  (2a−1)(a−3)=0(2a - 5)(a - 1) = 3 \implies 2a^2 - 7a + 2 = 0 \implies (2a - 1)(a - 3) = 0
Buradan a=3a = 3 veya a=12a = \frac{1}{2} elde edilir.

2) (2a−5)(a−1)=−3  ⟹  2a2−7a+8=0(2a - 5)(a - 1) = -3 \implies 2a^2 - 7a + 8 = 0
Bu denklemin diskriminantı Δa=49−64=−15<0\Delta_a = 49 - 64 = -15 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Bir ifadenin mutlak değeri 3 ise, ifadenin kendisi ya 3 ya da -3 olmalıdır.
4
Bulunan aa değerleri için orijinal denklemin birbirinden farklı gerçel kökleri olma şartını (yani Δx>0\Delta_x > 0) kontrol edin.
Orijinal denklemin diskriminantı:
Δx=(−(a−1))2−4(1)(2a−5)=a2−10a+21=(a−3)(a−7)>0\Delta_x = (-(a - 1))^2 - 4(1)(2a - 5) = a^2 - 10a + 21 = (a - 3)(a - 7) > 0 olmalıdır.

- a=3a = 3 için: Δx=(3−3)(3−7)=0\Delta_x = (3 - 3)(3 - 7) = 0 olur. Bu durumda kökler çakışık (eşit) olur, yani birbirinden farklı gerçel kök şartı sağlanmaz. Dolayısıyla a=3a = 3 değeri elenir.
- a=12a = \frac{1}{2} için: Δx=(12−3)(12−7)=16.25>0\Delta_x = (\frac{1}{2} - 3)(\frac{1}{2} - 7) = 16.25 > 0 olur. Bu değer şartı sağlar.

Sonuç olarak, aa'nın alabileceği tek gerçel değer 12\frac{1}{2}'dir.
Denklemin birbirinden farklı gerçel köklerinin olması için diskriminantın sıfırdan büyük olması gerekir.

Key Concept

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı, kökler çarpımı ve gerçel köklerin varlık/farklılık şartı (diskriminant analizi)

Alternative Method

Bulunan a=3a = 3 ve a=12a = \frac{1}{2} değerlerini diskriminant formülü yerine doğrudan orijinal denklemde yerine yazarak kontrol edebiliriz. a=3a = 3 için denklem x2−2x+1=0  ⟹  (x−1)2=0x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 olur ve kökler çakışık (x1=x2=1x_1 = x_2 = 1) çıktığından elenir. a=12a = \frac{1}{2} için denklem x2+12x−4=0x^2 + \frac{1}{2}x - 4 = 0 olur ve diskriminantı pozitif olup birbirinden farklı iki gerçel kök verir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri