Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri

aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,

a⋅b∈Za \cdot b \in \mathbb{Z}
bc∈Q∖Z\frac{b}{c} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
a+c=0a + c = 0

olduğu biliniyor.

Buna göre,

I. aa irrasyonel sayı ise bb de irrasyoneldir.
II. cc tam sayı ise bb de tam sayıdır.
III. bb rasyonel sayı ise aa tam sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. Yalnız IAnswer
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Yalnız I
Sadece birinci ifade her zaman doğrudur. Eğer aa irrasyonel ve bb rasyonel olsaydı, rasyonel sayıların kapalılık özelliği gereği a=a⋅bba = \frac{a \cdot b}{b} ifadesinin de rasyonel olması gerekirdi (çünkü a⋅ba \cdot b bir tam sayıdır yani rasyoneldir, bb de sıfırdan farklı bir rasyoneldir). Bu durum aa'nın irrasyonel olması kabulü ile çelişirdi. Dolayısıyla birinci ifade kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Koşullardan yola çıkarak sayıların sıfırdan farklı olduğunu belirleme.
bc\frac{b}{c} ifadesi tanımlı olduğundan c≠0c \neq 0 olur. a+c=0  ⟹  a=−ca + c = 0 \implies a = -c olduğundan a≠0a \neq 0 olur. bc∈Q∖Z\frac{b}{c} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ifadesi tam sayı olmadığından pay kısmı olan bb sıfır olamaz (b≠0b \neq 0).
Tanımlılık ve tam sayı olmama durumlarını analiz ederek sayıların sıfır olup olmadığını netleştirmek için.
2
Birinci öncülü irrasyonel ve rasyonel sayıların çarpımsal özellikleri yardımıyla analiz etme.
aa irrasyonel sayı olsun. Kabul edelim ki bb rasyonel sayı olsun. b≠0b \neq 0 olduğundan 1b\frac{1}{b} de bir rasyonel sayıdır. a⋅b=k∈Za \cdot b = k \in \mathbb{Z} (tam sayılar aynı zamanda rasyoneldir) olduğundan, a=k⋅1ba = k \cdot \frac{1}{b} eşitliği elde edilir. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olacağından aa rasyonel sayı olmalıdır. Bu durum aa'nın irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, aa irrasyonel ise bb mutlaka irrasyonel olmalıdır.
Çelişki yöntemi kullanarak irrasyonel-rasyonel çarpım kurallarını doğrulamak için.
3
İkinci öncül için karşıt örnek arama.
c=−2c = -2 (bir tam sayı) seçelim. Bu durumda a=−c=2a = -c = 2 olur. b=12b = \frac{1}{2} alalım. Koşulları kontrol edelim: a⋅b=2⋅12=1∈Za \cdot b = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \in \mathbb{Z} (sağlanır), bc=1/2−2=−14∈Q∖Z\frac{b}{c} = \frac{1/2}{-2} = -\frac{1}{4} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (sağlanır), a+c=2+(−2)=0a + c = 2 + (-2) = 0 (sağlanır). Ancak bu durumda b=12b = \frac{1}{2} bir tam sayı değildir. Dolayısıyla ikinci öncül her zaman doğru değildir.
Verilen koşulları sağlayan ancak öncülü bozan bir karşıt örnek bularak öncülün doğruluğunu test etmek için.
4
Üçüncü öncül için karşıt örnek arama.
b=3b = 3 (rasyonel sayı) ve a=23a = \frac{2}{3} (rasyonel fakat tam sayı değil) seçelim. Bu durumda c=−a=−23c = -a = -\frac{2}{3} olur. Koşulları kontrol edelim: a⋅b=23⋅3=2∈Za \cdot b = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \in \mathbb{Z} (sağlanır), bc=3−2/3=−92∈Q∖Z\frac{b}{c} = \frac{3}{-2/3} = -\frac{9}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} (sağlanır), a+c=23−23=0a + c = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0 (sağlanır). Ancak bu durumda a=23a = \frac{2}{3} bir tam sayı değildir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğru değildir.
Rasyonel sayıların tam sayılar kümesini kapsadığını fakat her rasyonel sayının tam sayı olmadığını gösteren bir karşıt örnek bulmak için.

Key Concept

Sayı kümelerinin özellikleri ve kapalılık kuralları (Tam sayılar, Rasyonel sayılar ve İrrasyonel sayılar arasındaki ilişkiler)
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic