Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri
xx ve yy gerçel sayıları için
x2+y2=8x^2 + y^2 = 8
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının bir tam sayı olduğu durumda x+yx + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

Answer: 5

Answer

x + y toplamının alabileceği farklı rasyonel sayı değerlerinin sayısı 5'tir.
xx ve yy gerçel sayıları için (x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy olup, gerçel sayı olma sınırından dolayı −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 elde edilir. Bu aralıkta xyxy tam sayısı için 8+2xy8+2xy ifadesini tam kare yapan değerler xy∈{−4,−2,4}xy \in \{-4, -2, 4\} olup, x+yx+y toplamı 0,±2,±40, \pm 2, \pm 4 olmak üzere 5 farklı rasyonel sayı değeri alabilir.

Step-by-Step Solution

1
x+yx+y toplamının karesini alarak verilen değerleri yerine yerleştirin.
(x+y)2=8+2xy(x+y)^2 = 8 + 2xy eşitliği elde edilir.
x+yx+y toplamı ile xyxy çarpımı arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
xx ve yy sayılarının gerçel sayı olma koşulunu uygulayarak xyxy çarpımının sınırlarını belirleyin.
(x−y)2=8−2xy≥0  ⟹  xy≤4(x-y)^2 = 8 - 2xy \geq 0 \implies xy \leq 4 ve (x+y)2≥0  ⟹  8+2xy≥0  ⟹  xy≥−4(x+y)^2 \geq 0 \implies 8 + 2xy \geq 0 \implies xy \geq -4 olup −4≤xy≤4-4 \leq xy \leq 4 bulunur.
Gerçel sayı kümelerinde çalışıldığı için karelerin negatif olamama kuralını uygulamak.
3
xyxy çarpımının tam sayı koşulunu kullanarak alabileceği tam sayı değerlerini listeleyin.
xy∈{−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}xy \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} olur.
Soruda verilen tam sayı kümesi tanımını uygulamak.
4
x+yx+y toplamını rasyonel yapan xyxy değerlerini tespit edip bu toplamın alabileceği değerleri hesaplayın.
s=x+ys = x+y rasyonel sayısı için s2=8+2xys^2 = 8 + 2xy tam sayı olduğundan 8+2xy8+2xy ifadesinin bir tam kare olması gerekir. Buradan:
- xy=−4  ⟹  s2=0  ⟹  s=0xy = -4 \implies s^2 = 0 \implies s = 0
- xy=−2  ⟹  s2=4  ⟹  s=±2xy = -2 \implies s^2 = 4 \implies s = \pm 2
- xy=4  ⟹  s2=16  ⟹  s=±4xy = 4 \implies s^2 = 16 \implies s = \pm 4
olmak üzere x+yx+y toplamı {−4,−2,0,2,4}\{-4, -2, 0, 2, 4\} kümesindeki 5 farklı rasyonel değeri alabilir.
Rasyonel sayıların karesinin rasyonel olması ve tam sayı katsayılı denklemde tamkarelik koşulunu incelemek.

Key Concept

Sayı Kümeleri (Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar) ve Tanımlılık Koşulları
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic