Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

Sayı doğrusu üzerinde seçilen iki farklı aa ve bb gerçel sayıları için aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* a−ba - b bir doğal sayıdır.
* a⋅ba \cdot b bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre,
I. aa ve bb sayılarından en az biri irrasyonel sayıdır.
II. a+ba + b bir irrasyonel sayıdır.
III. aa ve bb sayılarından en az biri pozitif gerçel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IIAnswer
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve II öncüllerinin her zaman doğru olduğunu belirten seçenek
Hem birinci öncülün (en az bir irrasyonel sayı bulunması gerektiği) hem de ikinci öncülün (toplamın irrasyonel olması gerektiği) rasyonel sayıların kapalılık özellikleri ve çelişki yöntemi kullanılarak her zaman doğru olduğu gösterilir. Üçüncü öncül ise her iki sayının da negatif seçilebildiği bir karşıt örnekle (örneğin a = -1-sqrt(2) ve b = -2-sqrt(2)) çürütülür. Bu nedenle doğru cevap I ve II öncüllerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen öncüllerin sayı kümeleri bazındaki karşılıklarını netleştirmek.
a−b=ka - b = k (k∈N+k \in \mathbb{N}^+) ve a⋅b∈Ia \cdot b \in \mathbb{I} (irrasyonel sayılar kümesi) olarak ifade edilir. İki sayı farklı olduğundan farkları pozitif bir tam sayıdır (dolayısıyla rasyoneldir).
Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri kurabilmek için verilen özellikleri sembolik dile dökmek gerekir.
2
Birinci öncülü (aa ve bb sayılarından en az birinin irrasyonel olması) değerlendirmek.
Eğer aa ve bb sayılarının her ikisi de rasyonel olsaydı, rasyonel sayıların çarpma işlemine göre kapalılık özelliğinden dolayı a⋅ba \cdot b çarpımı da rasyonel olmak zorundaydı. Ancak çarpımın irrasyonel olduğu verilmiştir. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla aa ve bb sayılarından en az biri (hatta farkları rasyonel olduğundan her ikisi de) irrasyonel olmalıdır. Birinci öncül her zaman doğrudur.
Çarpımın irrasyonel olmasının sayılar üzerindeki etkisini rasyonel sayıların kapalılık özelliği ile açıklamak için.
3
İkinci öncülü (a+ba + b toplamının irrasyonel olması) değerlendirmek.
Varsayalım ki a+b=ma + b = m bir rasyonel sayı olsun. Bize a−b=ka - b = k (k∈N+k \in \mathbb{N}^+) olarak verilmişti, yani a−ba - b de bir rasyonel sayıdır. Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak 2a=m+k  ⟹  a=m+k22a = m + k \implies a = \frac{m+k}{2} olur. Rasyonel sayıların toplamı ve bölmesi yine rasyonel olacağından aa rasyonel bulunur. Benzer şekilde taraf tarafa çıkarırsak 2b=m−k  ⟹  b=m−k22b = m - k \implies b = \frac{m-k}{2} rasyonel bulunur. Her ikisi de rasyonel ise çarpımları a⋅ba \cdot b de rasyonel olmalıdır. Ancak bu durum a⋅ba \cdot b'nin irrasyonel olduğu bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla a+ba + b rasyonel olamaz, yani her zaman irrasyoneldir. İkinci öncül her zaman doğrudur.
Çelişkiyle kanıtlama yöntemini kullanarak toplamın rasyonel olamayacağını göstermek için.
4
Üçüncü öncülü (aa ve bb sayılarından en az birinin pozitif olması) değerlendirmek için karşıt örnek aramak.
aa ve bb sayılarının her ikisini de negatif seçelim. Örneğin; b=−2−2b = -2 - \sqrt{2} ve a=−1−2a = -1 - \sqrt{2} olsun. Bu durumda:
1) a−b=(−1−2)−(−2−2)=1a - b = (-1 - \sqrt{2}) - (-2 - \sqrt{2}) = 1 bir doğal sayıdır.
2) a⋅b=(−1−2)⋅(−2−2)=(1+2)(2+2)=4+32a \cdot b = (-1 - \sqrt{2}) \cdot (-2 - \sqrt{2}) = (1 + \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 4 + 3\sqrt{2} sayısı irrasyoneldir.
Bu örnekte aa ve bb sayılarının her ikisi de negatif gerçel sayılardır. Dolayısıyla en az birinin pozitif olma zorunluluğu yoktur. Üçüncü öncül her zaman doğru değildir.
Öncülün aksini ispatlayan somut bir sayısal örnek (karşıt örnek) sunarak genellemenin yanlış olduğunu kanıtlamak için.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, işlemlere göre kapalılık durumları ve çelişkiyle kanıtlama yöntemi.

Alternative Method

Öncülleri değer vererek veya çelişki yöntemi yerine rasyonel sayıların kapalılığı (rasyonel sayılar kümesinin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalı olması) kuralını doğrudan kullanarak daha hızlı analiz edebilirsiniz. İki sayının farkı rasyonel iken çarpımları irrasyonel ise, bu sayıların rasyonel olması durumunda çarpımlarının da rasyonel olması gerekeceğinden, her ikisinin de irrasyonel olması gerektiği doğrudan söylenebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic