A, B ve C boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, bu kümelerin eleman sayıları ile ilgi… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$A$ , $B$ ve $C$ boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, bu kümelerin eleman sayıları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinin birleşimi $46$ elemanlıdır.
* $A$ , $B$ ve $C$ kümelerinden yalnız birine ait olan elemanların toplam sayısı $30$ 'dur.
* Kümelerin ikişerli kesişimlerinin eleman sayıları birbirine eşit olup, her biri üç kümenin ortak kesişim kümesinin eleman sayısının $2$ katıdır.

Buna göre, $(A \cap B) \cup (B \cap C)$ kümesinin eleman sayısı kaçt��r?

Answer: 12

Answer

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı 12'dir.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

bağıntısı ile hesaplanır. Verilen eleman sayıları Venn şeması üzerinde yerleştirildiğinde birleşim kümesinin eleman sayısı

30 + 4x = 46

olur. Buradan

x = 4

bulunur. İstenen kümenin eleman sayısı olan

3x

ifadesinde

x = 4

yazıldığında doğru yanıt 12 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Kümelerin kesişim bölgelerini değişkenlerle ifade etme

s(A \cap B \cap C) = x

iken sadece ikişerli kesişim bölgelerinin her birinin eleman sayısı

x

olarak bulunur.

İkişerli kesişimlerin her biri

2x

elemanlı olduğundan ve üçlü kesişimi (

x

) barındırdığından, sadece ikişerli kesişim bölgelerine

2x - x = x

eleman kalır.

Birleşim kümesinin eleman sayısı denklemini çözerek

x

değerini bulma

30 + 4x = 46 \implies x = 4

elde edilir.

Birleşim kümesindeki tüm ayrık bölgelerin toplamı birleşimin eleman sayısını verir.

İstenen

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısını hesaplama

3x = 12

bulunur.

(A \cap B) \cup (B \cap C)

kümesinin eleman sayısı

s(A \cap B) + s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)

şeklinde ifade edilir ve bu da

2x + 2x - x = 3x

değerine eşittir.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayısı hesaplamaları ile Venn şeması yardımıyla bölge analizi.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic