Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bir P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için,
* P(2x−1)P(2x-1) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 55'tir.
* Q(3−x)Q(3-x) polinomunun x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2'dir.

Buna göre,
H(x)=(x+2)⋅P(x)−x⋅Q(−x)H(x) = (x+2) \cdot P(x) - x \cdot Q(-x)

polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    11
  3. C
    13
  4. D
    15
  5. 17Answer

Answer

17
On yedi değeri doğrudur. P(2x−1)P(2x-1)'in x−1x-1 ile bölümünden kalan 55 ise P(1)=5P(1)=5 olur. Q(3−x)Q(3-x)'in x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2 ise Q(−1)=−2Q(-1)=-2 olur. H(x)H(x) polinomunda x=1x=1 yazıldığında H(1)=3P(1)−Q(−1)H(1) = 3P(1) - Q(-1) elde edilir. Değerler yerine konduğunda 3(5)−(−2)=15+2=173(5) - (-2) = 15 + 2 = 17 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
H(x)H(x) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalanı bulmak için bölme algoritması uygulanır.
x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1 değeri H(x)H(x) polinomunda yerine yazılır. Aranan kalan H(1)H(1) değeridir.
Bir polinomun x−ax-a ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda xx yerine aa yazılmalıdır.
2
H(1)H(1) ifadesini elde etmek için H(x)H(x) eşitliğinde xx yerine 11 yazılır.
H(1)=(1+2)⋅P(1)−1⋅Q(−1)=3⋅P(1)−Q(−1)H(1) = (1+2) \cdot P(1) - 1 \cdot Q(-1) = 3 \cdot P(1) - Q(-1) elde edilir.
H(x)H(x) tanımındaki katsayıları ve değişkenleri x=1x=1 için hesaplamak gerekir.
3
Verilen diğer bilgiler kullan��larak P(1)P(1) ve Q(−1)Q(-1) değerleri hesaplanır.
P(2x−1)P(2x-1) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 55 ise x=1x=1 için P(2(1)−1)=P(1)=5P(2(1)-1) = P(1) = 5 olur. Q(3−x)Q(3-x) polinomunun x−4x-4 ile bölümünden kalan −2-2 ise x=4x=4 için Q(3−4)=Q(−1)=−2Q(3-4) = Q(-1) = -2 olur.
Bölme kurallarına göre bölenleri sıfır yapan xx değerleri ilgili polinomlarda yerine yazılmalıdır.
4
Bulunan P(1)=5P(1) = 5 ve Q(−1)=−2Q(-1) = -2 değerleri H(1)H(1) denkleminde yerine yazılır.
H(1)=3⋅5−(−2)=15+2=17H(1) = 3 \cdot 5 - (-2) = 15 + 2 = 17 olarak bulunur.
Elde edilen tüm sayısal veriler birleştirilerek nihai kalan hesaplanır.

Key Concept

Polinomlarda kalan bulurken bölen ifade sıfıra eşitlenerek elde edilen x değeri bölünen polinomda yerine yazılır. Bileşke ve dönüşümlü polinomlarda da aynı kural geçerlidir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic