Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde AA ve BB kümeleri
A={x∈R:x2∈Q}A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 \in \mathbb{Q}\}
B={x∈R:x3∈Q}B = \{x \in \mathbb{R} : x^3 \in \mathbb{Q}\}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre;
I. A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q}
II. Her x,y∈Ax, y \in A için x+y∈Ax + y \in A’dır.
III. A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. I ve IIIAnswer
  4. D
    II ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

I ve III ifadeleri doğrudur.
I. ifade doğrudur, çünkü karesi ve küpü rasyonel olan bir sayı, bu iki değerin birbirine bölünmesiyle rasyonel olarak ifade edilebilir. III. ifade doğrudur, çünkü her pp asal sayısı için p\sqrt{p} sayısının karesi rasyonel (pp) iken küpü irrasyoneldir (ppp\sqrt{p}). Bu durum sonsuz elemanlı bir küme tanımlar. Bu nedenle I ve III ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
I. ifadenin doğruluğunu kontrol etmek için kesişim kümesini inceleyelim.
A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} eşitliği elde edilir.
Herhangi bir x∈Qx \in \mathbb{Q} için x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olacağından Q⊆A∩B\mathbb{Q} \subseteq A \cap B olur. Diğer taraftan, eğer x∈A∩Bx \in A \cap B ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olur. x=0x = 0 ise zaten rasyoneldir. x≠0x \neq 0 ise x=x3x2x = \frac{x^3}{x^2} şeklinde yazılabilir. İki rasyonel sayının bölümü de rasyonel olduğundan x∈Qx \in \mathbb{Q} olur. Dolayısıyla A∩B=QA \cap B = \mathbb{Q} doğrudur.
2
II. ifadenin doğruluğunu bir karşıt örnek ile test edelim.
İfade her zaman doğru değildir.
x=2x = \sqrt{2} ve y=3y = \sqrt{3} olsun. x2=2∈Qx^2 = 2 \in \mathbb{Q} ve y2=3∈Qy^2 = 3 \in \mathbb{Q} olduğundan x,y∈Ax, y \in A olur. Ancak (x+y)2=(2+3)2=5+26(x+y)^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} irrasyonel olduğundan x+y∉Ax+y \notin A olur. Bu nedenle II. ifade yanlıştır.
3
III. ifadenin doğruluğunu A∖BA \setminus B kümesinin elemanlarını analiz ederek belirleyelim.
A∖BA \setminus B kümesi sonsuz elemanlıdır.
A∖BA \setminus B kümesi, karesi rasyonel olup küpü rasyonel olmayan gerçel sayıları içerir. Her pp asal sayısı için x=px = \sqrt{p} sayısı seçildiğinde x2=p∈Qx^2 = p \in \mathbb{Q} olur ancak x3=ppx^3 = p\sqrt{p} sayısı p\sqrt{p} irrasyonel olduğundan rasyonel değildir. Sonsuz sayıda asal sayı olduğundan bu özelliğe uyan sonsuz sayıda xx gerçel sayısı vardır. Dolayısıyla III. ifade doğrudur.

Key Concept

Sayı kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların cebirsel işlemler altındaki kapalılık özellikleri.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic