Examkin

Question

Difficulty: MediumBasamak Analizi ve Çözümleme

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, AA rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Answer: 15

Answer

A rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde, BCBC iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerler 1010 ile 9999 arasındadır. Bu koşul altında 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 2525'in katı olması için AA rakamı yalnızca 22, 55 ve 88 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1515 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sayının basamak çözümlemesini yapmak.
ABC=100A+BCABC = 100A + BC
ABCABC üç basamaklı sayısının son iki basamağını ayırarak çözümleme yapmak, BCBC iki basamaklı terimi ile sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Soruda verilen sözel ifadeyi denklem olarak yazmak.
100A+BC=13⋅BC+20  ⟹  100A=12⋅BC+20100A + BC = 13 \cdot BC + 20 \implies 100A = 12 \cdot BC + 20
Matematiksel modeli kurarak değişkenleri düzenlemek.
3
Denklemin katsayılarını en büyük ortak bölen ile sadeleştirmek.
25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5
Daha küçük katsayılarla çalışmak ve değer verme aşamasında işlem kolaylığı sağlamak.
4
BCBC ifadesinin iki basamaklı bir doğal sayı olma şartını uygulayarak AA değerlerini aramak.
A∈{2,5,8}A \in \{2, 5, 8\} ve buna karşılık gelen BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\}
10≤BC≤9910 \leq BC \leq 99 sınırları dahilinde 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 25'in katı olmasını sağlayan rakamlar belirlenir.
5
Bulunan rakamları toplamak.
2+5+8=152 + 5 + 8 = 15
AA rakamının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamını elde etmek.

Key Concept

Çözümleme yaparken tüm basamakları tek tek açmak yerine (100A+10B+C100A + 10B + C), ortak blokları (100A+BC100A + BC) birlikte gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar.

Alternative Method

25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde eşitliğin sağ tarafı 55'in katıdır. Dolayısıyla sol taraftaki 25A25A da 55'in katı olmalıdır. Buradan 3⋅BC3 \cdot BC ifadesinin 55'in katı olması gerektiği, yani BCBC sayısının birler basamağının (CC) 00 veya 55 olması gerektiği görülür. C=0C = 0 veya C=5C = 5 değerleri üzerinden deneme yapılarak BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\} değerlerine daha hızlı ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Basamak Analizi ve Çözümleme

More questions from this topic