Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

N\mathbb{N} doğal sayılar, Z\mathbb{Z} tam sayılar ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi olmak üzere,

I. f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, f(x)=x3−xx2+1f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}
II. g:R∖{1}→Rg: \mathbb{R} \setminus \{1\} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=x+1∣x∣−1g(x) = \frac{x + 1}{|x| - 1}
III. h:N→Nh: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, h(x)=x2−4x+4+1h(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + 1

bağıntıları veriliyor.

Buna göre, yukarıda verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiyon belirtir?

  1. A
    Yalnız I
  2. Yalnız IIIAnswer
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Answer

Yalnız III
Sadece üçüncü öncüldeki bağıntı, tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki benzersiz elemanlara eşler. Kareköklü ifade mutlak değer olarak dışarı çıkarıldığında tüm doğal sayı girdileri için sonuç da bir doğal sayı olur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncüldeki bağıntının incelenmesi
x=2∈Zx = 2 \in \mathbb{Z} seçildiğinde f(2)=23−222+1=65∉Zf(2) = \frac{2^3 - 2}{2^2 + 1} = \frac{6}{5} \notin \mathbb{Z} elde edilir.
Tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesinde (tam sayılarda) bulunmalıdır. Ancak x=2x=2 için elde edilen değer tam sayı olmadığından bu bağıntı fonksiyon olamaz.
2
İkinci öncüldeki bağıntının incelenmesi
Paydayı sıfır yapan değerler ∣x∣−1=0  ⟹  x=1|x| - 1 = 0 \implies x = 1 veya x=−1x = -1 olarak bulunur.
Tanım kümesi olan R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} kümesinde x=−1x = -1 elemanı yer almaktadır. Bu değer için fonksiyon tanımsız olacağından tanım kümesindeki bir eleman açıkta kalır ve bağıntı fonksiyon belirtmez.
3
Üçüncü öncüldeki bağıntının incelenmesi
h(x)=(x−2)2+1=∣x−2∣+1h(x) = \sqrt{(x-2)^2} + 1 = |x - 2| + 1 elde edilir. Her x∈Nx \in \mathbb{N} için ∣x−2∣+1∈N|x - 2| + 1 \in \mathbb{N} olur.
Kareköklü çift dereceli terim mutlak değer içinde dışarı çıkar. Her doğal sayı girdisi için bu ifade tanımlıdır ve sonuç daima pozitif tam sayı olacağından değer kümesine (doğal sayılara) aittir. Bu bağıntı bir fonksiyondur.

Key Concept

Fonksiyon tanımı, tanım ve değer kümelerinin sınırları ile tanımsızlık durumları
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

More questions from this topic