Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir yaz kampındaki öğrencilerin tamamı Robotik (RR), Model Uçak (MM) ve Satranç (SS) kulüplerinden en az birine üyedir. Bu kulüplerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Robotik kulübüne üye olan öğrenci sayısı 40'tır.
* Model Uçak kulübüne üye olan öğrencilerin tamamı aynı zamanda Robotik kulübüne de üyedir.
* Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin hiçbirisi Model Uçak kulübüne üye değildir.
* Sadece Robotik kulübüne üye olan öğrencilerin sayısı, sadece Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin sayısının 2 katıdır.
* Hem Robotik hem de Satranç kulübüne üye olan öğrencilerin sayısı 12'dir.
* Model Uçak kulübüne üye olan öğrenci sayısı 6'dır.

Buna göre, bu yaz kampındaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

  1. A
    45
  2. 51Answer
  3. C
    54
  4. D
    57
  5. E
    63

Answer

Toplam öğrenci sayısı 51'dir.
Doğru yanıt 51'dir. Model Uçak kulübünün Robotik kulübünün alt kümesi olduğu ve Satranç kulübü ile kesişiminin olmadığı göz önüne alındığında, Robotik kümesinin eleman sayısı sadece Robotik olanlar, Model Uçak olanlar ve Robotik ile Satranç'ın kesişimi olanların toplamına eşittir. Buradan sadece Satranç oynayanların sayısı 11 olarak bulunur. Toplam öğrenci sayısı ise Robotik kümesi ile sadece Satranç oynayanların toplamı olan 51'e eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Kümelerin birbirleriyle olan ilişkilerini belirlemek ve şematik yapıyı kurmak.
M⊆RM \subseteq R ve S∩M=∅S \cap M = \emptyset olduğu belirlenir.
Model Uçak (MM) kulübüne üye olanların tamamı aynı zamanda Robotik (RR) kulübünde olduğundan MM, RR'nin bir alt kümesidir. Satranç (SS) ile Model U��ak (MM) kulübünün ortak üyesi bulunmadığı için bu iki küme ayrıktır.
2
Bölgelerin eleman sayılarını değişkenler cinsinden yazmak ve RR kümesinin eleman sayısı üzerinden denklem kurmak.
s(R)=Sadece Robotik+s(M)+s(R∩S)  ⟹  40=2y+6+12s(R) = \text{Sadece Robotik} + s(M) + s(R \cap S) \implies 40 = 2y + 6 + 12 denklemi elde edilir.
Sadece Satranç kulübüne üye olanların sayısına yy dersek, sadece Robotik kulübüne üye olanların sayısı 2y2y olur. M⊆RM \subseteq R ve S∩M=∅S \cap M = \emptyset olduğu için RR kümesi; sadece Robotik olanlar, Model Uçak üyeleri (MM) ve Robotik ile Satranç'ın kesişimi (R∩SR \cap S) şeklinde üç ayrık bölgeden oluşur.
3
Denklemi çözerek sadece Satranç kulübüne üye olan öğrenci sayısını bulmak.
2y+18=40  ⟹  2y=22  ⟹  y=112y + 18 = 40 \implies 2y = 22 \implies y = 11 bulunur.
Kurulan denklem çözülerek sadece Satranç kulübüne üye olan öğrenci sayısı (yy) elde edilir.
4
Yaz kampındaki toplam öğrenci sayısını hesaplamak.
T=s(R∪S)=s(R)+s(S∖R)=40+11=51T = s(R \cup S) = s(R) + s(S \setminus R) = 40 + 11 = 51 bulunur.
Kampın tamamı R∪M∪SR \cup M \cup S kümesidir. M⊆RM \subseteq R olduğundan bu birleşim R∪SR \cup S kümesine eşittir. Birleşim kümesinin toplam eleman sayısı, RR kümesinin tamamı ile sadece Satranç kulübünde olanların (S∖RS \setminus R) toplamına eşittir.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve alt küme ilişkilerini kullanarak eleman sayısı hesaplama.

Alternative Method

Venn şeması çizilerek eleman sayıları bölgelere doğrudan yerleştirilebilir. Robotik dairesi içerisine çizilen Model Uçak dairesine 6 yazılır. Robotik ve Satranç kesişimine 12 yazılır. Sadece Satranç bölgesine y yazıldığında, sadece Robotik bölgesi 2y olur. Robotik dairesinin toplamı 2y + 6 + 12 = 40 eşitliğinden y = 11 bulunur. Şemadaki tüm bölgeler toplandığında 22 + 6 + 12 + 11 = 51 sonucuna doğrudan ulaşılır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

More questions from this topic