Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir torbada 11'den nn'ye kadar ardışık sayma sayılarıyla numaralandırılmış nn tane top bulunmaktadır. Bu torbadan, üzerindeki numaralar ardışık tam sayılar olan 55 top çekildiğinde torbada kalan topların numaralarının toplamı 303303 olmaktadır.

Buna göre, nn kaçtır?

  1. A
    25
  2. B
    26
  3. 27Answer
  4. D
    28
  5. E
    29

Answer

Torbadaki toplam top sayısı 27'dir.
Torbada kalan topların toplamının 303 olması, tüm topların toplamı ile çekilen 5 topun toplamının farkının 303 olduğunu gösterir. Çekilen en küçük top x olmak üzere bu ilişkiyi veren denklem n(n+1)/2 - (5x+10) = 303 şeklindedir. Değişkenlerin sınır koşulları (1 <= x ve x+4 <= n) analiz edildiğinde n sayısının 25 ile 29 arasında olması gerektiği belirlenir. Bu aralıkta x değerini pozitif tam sayı yapan tek değer 27 olduğundan doğru yanıt yirmi yedi olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Çekilen ardışık 5 topun ve torbadaki tüm topların toplamı için cebirsel ifadeleri yazalım.
Çekilen topların numaraları x,x+1,x+2,x+3,x+4x, x+1, x+2, x+3, x+4 olsun. Bu topların toplamı: S=5x+10S = 5x + 10 olur. Torbadaki tüm topların toplamı ise: T=n(n+1)2T = \frac{n(n+1)}{2} şeklindedir.
Kalan topların toplamını bulabilmek için tüm topların toplamından çekilen topların toplamını çıkarmamız gerekir.
2
Kalan topların toplamı olan 303 değerini kullanarak denklem kuralım ve düzenleyelim.
T−S=303⇒n(n+1)2−(5x+10)=303⇒n(n+1)2=313+5xT - S = 303 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} - (5x + 10) = 303 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = 313 + 5x elde edilir.
n ve x değişkenleri arasındaki matematiksel ilişkiyi kurmak için denklem düzenlenmiştir.
3
Değişkenlerin sınır koşullarını belirleyelim.
Çekilen toplar torbadaki toplar arasından seçildiğinden en küçük numara x≥1x \ge 1 olmalıdır. Buradan, n(n+1)2=313+5x≥318⇒n(n+1)≥636\frac{n(n+1)}{2} = 313 + 5x \ge 318 \Rightarrow n(n+1) \ge 636 bulunur. 24×25=60024 \times 25 = 600 ve 25×26=65025 \times 26 = 650 olduğundan n≥25n \ge 25 olmalıdır.
Ayrıca çekilen en büyük topun numarası x+4≤nx+4 \le n olmalıdır. x=n(n+1)−62610x = \frac{n(n+1) - 626}{10} ifadesini yerine yazarsak: n(n+1)−62610+4≤n⇒n2−9n−586≤0\frac{n(n+1) - 626}{10} + 4 \le n \Rightarrow n^2 - 9n - 586 \le 0 elde edilir. Bu eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değeri n≤29n \le 29 dur.
n parametresinin alabileceği değer aralığını daraltarak deneme adımlarını azaltmak amacıyla sınır koşulları incelenmiştir.
4
Belirlenen aralıktaki (25≤n≤2925 \le n \le 29) tam sayı değerleri için x'in bir pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol edelim.
Denklemden 5x=n(n+1)2−3135x = \frac{n(n+1)}{2} - 313 olduğu görülür. Dolayısıyla n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} ifadesinin birler basamağı 3 veya 8 olmalıdır (böylece 313 çıkarıldığında sonuç 5'in katı olur):
- n=25n = 25 için: T=325T = 325 (birler basamağı 5, uygun değil)
- n=26n = 26 için: T=351T = 351 (birler basamağı 1, uygun değil)
- n=27n = 27 için: T=378T = 378 (birler basamağı 8, uygun). Buradan 5x=378−313=65⇒x=135x = 378 - 313 = 65 \Rightarrow x = 13 bulunur. Çekilen toplar: 13, 14, 15, 16, 17 olur. Bu toplar 1≤131 \le 13 ve 17≤2717 \le 27 koşullarını sağlar.
- n=28n = 28 için: T=406T = 406 (birler basamağı 6, uygun değil)
- n=29n = 29 için: T=435T = 435 (birler basamağı 5, uygun değil)
Hem ardışıklık hem de torba sınırları koşulunu tam sayı olarak sağlayan tek değeri tespit etmek için tüm adaylar elenmiştir.

Key Concept

Ardışık Sayılar ve Toplamları
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic