Examkin

Question

Difficulty: MediumArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir depodaki kutular, en üstteki 1. sıradan başlayarak aşağıya doğru her sırada bir önceki sıradakinden 2 kutu fazla olacak şekilde üst üste dizilmiştir. Bu dizilimdeki en alt sırada 23 kutu bulunmaktadır. Dizilimdeki tüm sıralarda toplam 140 kutu kullanıldığına göre, bu dizilimde toplam kaç sıra kutu vardır?

  1. A
    8
  2. 10Answer
  3. C
    12
  4. D
    14
  5. E
    16

Answer

Dizilimde toplam 10 sıra kutu bulunmaktadır.
Ardışık terimler toplamı ve son terim formülleri birleştirilerek elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerinden, kutu sayısını pozitif yapan 10 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Terimler arasındaki ilişkiyi kurma ve ilk terimi belirleme
a1=25−2na_1 = 25 - 2n
Toplam nn sıra olsun. En üstteki sıra 1. sıra ve en alttaki sıra nn. sıra olmak üzere, her sıradaki kutu sayısı ikişer artmaktadır. En alt sırada (nn. sırada) 23 kutu olduğu verilmiştir. Ardışık terim ilişkisinden an=a1+2(n−1)  ⟹  23=a1+2n−2  ⟹  a1=25−2na_n = a_1 + 2(n - 1) \implies 23 = a_1 + 2n - 2 \implies a_1 = 25 - 2n elde edilir.
2
Ardışık toplam formülünü kullanarak denklemi oluşturma
n(24−n)=140n(24 - n) = 140
Ardışık sayıların toplamı Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} formülü ile bulunur. Toplam kutu sayısı 140 olarak verildiğinden, değerleri yerine yazarsak: n(25−2n+23)2=140  ⟹  n(48−2n)2=140  ⟹  n(24−n)=140\frac{n(25 - 2n + 23)}{2} = 140 \implies \frac{n(48 - 2n)}{2} = 140 \implies n(24 - n) = 140 elde edilir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözme
n=10n = 10 veya n=14n = 14
Denklemi düzenlersek: 24n−n2=140  ⟹  n2−24n+140=0  ⟹  (n−10)(n−14)=024n - n^2 = 140 \implies n^2 - 24n + 140 = 0 \implies (n - 10)(n - 14) = 0 olur. Buradan kökler n=10n = 10 ve n=14n = 14 olarak bulunur.
4
Gerçekçi sınır koşulunu (sayı kümesi uygunluğunu) kontrol etme
n=10n = 10
n=14n = 14 için en üst sıradaki kutu sayısı a1=25−2(14)=−3a_1 = 25 - 2(14) = -3 olur. Kutu sayısı negatif bir sayı olamayacağından (sayma sayısı olmalıdır), n=14n = 14 çözümü elenir. n=10n = 10 için a1=25−2(10)=5a_1 = 25 - 2(10) = 5 olup pozitif bir sayma sayısıdır. Dolayısıyla doğru sıra sayısı 10'dur.

Key Concept

Ardışık terimlerin toplamı formülü ve terimlerin sayma sayısı olması zorunluluğunun sınır koşulu olarak kullanılması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Ardışık Sayılar ve Toplamları

More questions from this topic