Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Problemleri

Bir spor kulübünde okçuluk (OO), eskrim (EE) ve binicilik (BB) branşlarında eğitim verilmektedir. Bu kulüpteki her bir üye bu üç bran��tan en az birini yapmaktadır. Kulüp üyeleriyle ilgili aşağıdaki bilgiler bilinmektedir:

* Okçuluk branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısının 2 katıdır.
* Yalnız iki branşı seçenlerin toplam sayısı, üç branşı da seçenlerin sayısına eşittir.
* Sadece eskrim branşını seçenlerin sayısı, sadece binicilik branşını seçenlerin sayısından 3 fazladır.
* Binicilik branşını seçenlerin toplam sayısı 24'tür.
* Sadece okçuluk branşını seçenlerin sayısı, eskrim ve binicilik branşlarını seçip okçuluk seçmeyenlerin sayısına eşittir.
* Eskrim ve okçuluk branşlarını seçip binicilik seçmeyen en az bir üye bulunmaktadır.
* Eskrim branşını seçenlerin toplam sayısı 26'dır.

Buna göre, bu spor kulübündeki toplam üye sayısı kaçtır?

Answer: 41 kişi

Answer

Spor kulübündeki toplam üye sayısı 41'dir.
Spor kulübündeki tüm branşların ve bunların kesişimlerinin eleman sayıları küme problemleri kuralları ve verilen denklemler yardımıyla tek tek belirlenir. Elde edilen değerlerin toplamı kulübün toplam üye sayısı olan 41 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Küme bölgelerini ve eleman sayılarını bilinmeyenlerle ifade edelim.
Yalnızca okçuluk yapanlar oo, yalnızca eskrim yapanlar ee, yalnızca binicilik yapanlar bb; yalnız okçuluk ve eskrim yapanlar oeoe, yalnız okçuluk ve binicilik yapanlar obob, yalnız eskrim ve binicilik yapanlar ebeb; her üçünü de yapanlar oeboeb olsun.
Soruda verilen sözel ifadeleri matematiksel denklemlere dönüştürmek için net tanımlamalar yapmalıyız.
2
Verilen bilgileri denklemlere dökelim.
1) o+oe+ob+oeb=2bo + oe + ob + oeb = 2b
2) oe+ob+eb=oeboe + ob + eb = oeb
3) e=b+3e = b + 3
4) b+ob+eb+oeb=24b + ob + eb + oeb = 24
5) o=ebo = eb
6) oe≥1oe \ge 1
7) e+oe+eb+oeb=26e + oe + eb + oeb = 26
Soruda verilen sözel koşulları cebirsel olarak ifade ederek çözüm kümesini daraltmak amaçlanır.
3
Denklemleri sadeleştirelim.
5. denklemden (o=ebo = eb) hareketle, 1. denklemde yerine yazalım: eb+oe+ob+oeb=2beb + oe + ob + oeb = 2b. 2. denklemden oe+ob+eb=oeboe + ob + eb = oeb olduğu için, oeb+oeb=2b  ⟹  2oeb=2b  ⟹  oeb=boeb + oeb = 2b \implies 2oeb = 2b \implies oeb = b elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltmak için ortak terimleri birbirleri cinsinden yazmalıyız.
4
Binicilik kümesinin eleman sayısını kullanalım.
4. denklemde oeb=boeb = b yazarsak: b+ob+eb+b=24  ⟹  2b+ob+eb=24b + ob + eb + b = 24 \implies 2b + ob + eb = 24. Buradan ob+eb=24−2bob + eb = 24 - 2b elde edilir. 2. denklemde yerine koyarsak: oe+(24−2b)=b  ⟹  oe=3b−24oe + (24 - 2b) = b \implies oe = 3b - 24 olur. Üye sayıları negatif olamayacağı için oe≥1  ⟹  3b−24≥1  ⟹  b≥9oe \ge 1 \implies 3b - 24 \ge 1 \implies b \ge 9 olmalıdır. Ayrıca ob+eb≥0  ⟹  24−2b≥0  ⟹  b≤12ob + eb \ge 0 \implies 24 - 2b \ge 0 \implies b \le 12 olur.
Eleman sayılarının pozitif tam sayı olma koşullarını kullanarak bb'nin değer aralığını buluruz.
5
Eskrim kümesinin eleman sayısını kullanalım.
7. denklemde e=b+3e = b + 3, oe=3b−24oe = 3b - 24, oeb=boeb = b yazalım: (b+3)+(3b−24)+eb+b=26  ⟹  5b−21+eb=26  ⟹  5b+eb=47(b+3) + (3b-24) + eb + b = 26 \implies 5b - 21 + eb = 26 \implies 5b + eb = 47 elde edilir. b≥9b \ge 9 ve b≤12b \le 12 aralığında eb≥0eb \ge 0 olmasını sağlayan tek tam sayı değeri b=9b = 9 olur. Bu durumda eb=2eb = 2 bulunur.
Sınırlandırılmış değer aralığındaki tam sayı çözümlerini bulmak için son denklemi değerlendiririz.
6
Tüm bilinmeyenleri ve toplam üye sayısını hesaplayalım.
b=9b = 9, oeb=9oeb = 9, e=12e = 12, oe=3oe = 3, eb=2eb = 2, o=2o = 2, ob=4ob = 4 olur. Toplam üye sayısı N=o+e+b+oe+ob+eb+oeb=2+12+9+3+4+2+9=41N = o + e + b + oe + ob + eb + oeb = 2 + 12 + 9 + 3 + 4 + 2 + 9 = 41 olarak bulunur.
Tüm bölge eleman sayılarını toplayarak evrensel kümenin eleman sayısına ulaşırız.

Key Concept

Küme Problemlerinde Denklem Kurma ve Tam Sayı Çözümleri
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic