Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değerli Eşitsizlikler

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının 22 noktasına olan uzaklığı, −1-1 noktasına olan uzaklığının yarısından fazla değildir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx gerçel sayılarının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [1,5][1, 5]Answer
  2. B
    [−5,−1][-5, -1]
  3. C
    (1,5)(1, 5)
  4. D
    (−∞,1]∪[5,∞)(-\infty, 1] \cup [5, \infty)
  5. E
    [−5,1][-5, 1]

Answer

[1,5][1, 5] aralığı
Verilen sözel ifade 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1| şeklinde kurulur. Bu eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp düzenlendiğinde 3x2−18x+15≤03x^2 - 18x + 15 \leq 0 eşitsizliğine ulaşılır. Her iki taraf 3'e bölünerek elde edilen x2−6x+5≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 ifadesinin kökleri 1 ve 5 olup, işaret tablosuna göre bu ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu en geniş aralık kapalı [1,5][1, 5] aralığıdır.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkisini mutlak değerli eşitsizlik olarak kurma
∣x−2∣≤12∣x−(−1)∣|x - 2| \leq \frac{1}{2}|x - (-1)| yani 2∣x−2∣≤∣x+1∣2|x - 2| \leq |x + 1|
Bir aa sayısının bb sayısına uzaklığı ∣a−b∣|a - b| ile ifade edilir. 'Fazla değildir' ifadesi ise küçük veya eşit (\leq) anlamına gelir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak mutlak değerden kurtulma
(2∣x−2∣)2≤(∣x+1∣)2⇒4(x2−4x+4)≤x2+2x+1(2|x - 2|)^2 \leq (|x + 1|)^2 \Rightarrow 4(x^2 - 4x + 4) \leq x^2 + 2x + 1
Her iki taraf da negatif olmadığından karesi alındığında eşitsizlik yönü korunur ve mutlak değer sembolleri ortadan kalkar.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği düzenleme
4x2−16x+16≤x2+2x+1⇒3x2−18x+15≤04x^2 - 16x + 16 \leq x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 3x^2 - 18x + 15 \leq 0
Tüm terimleri sol tarafa toplayarak standart ikinci dereceden eşitsizlik formuna ulaşıyoruz.
4
Eşitsizliği sadeleştirme ve kökleri bulma
x2−6x+5≤0⇒(x−1)(x−5)≤0x^2 - 6x + 5 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) \leq 0 olup kökler x=1x = 1 ve x=5x = 5 olarak bulunur.
İfadeyi 3 ile bölüp çarpanlarına ayırarak sınır değerleri (kökleri) belirliyoruz.
5
İşaret tablosu yaparak çözüm kümesini belirleme
x2−6x+5x^2 - 6x + 5 ifadesi [1,5][1, 5] aralığında negatif veya sıfır değerler alır. Dolayısıyla en geniş çözüm aralığı [1,5][1, 5] olur.
Köklerin dışında ifadenin işareti pozitif, köklerin arasında ise negatiftir. Bizden küçük veya eşit sıfır olan bölge istendiği için kapalı aralık alınır.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel olarak ifade edilmesi

Alternative Method

Eşitsizlik karesini almak yerine kritik noktalar olan x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerlerine göre sayı doğrusunu üç bölgeye ayırarak da çözülebilir. x<−1x < -1 için çözüm kümesi boş kümedir. −1≤x≤2-1 \leq x \leq 2 için eşitsizlik 1≤x≤21 \leq x \leq 2 aralığını verir. x>2x > 2 için ise 2<x≤52 < x \leq 5 aralığı elde edilir. Bu üç bölgedeki çözümler birleştirildiğinde [1,5][1, 5] aralığına ulaşılır.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic