Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değerli Eşitsizlikler
∣x2−4∣≤∣x−2∣|x^2 - 4| \leq |x - 2|

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -6
  2. -4Answer
  3. C
    -2
  4. D
    0
  5. E
    6

Answer

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı -4 değeridir.
Eşitsizlik ∣x−2∣(∣x+2∣−1)≤0|x - 2|(|x + 2| - 1) \leq 0 şeklinde çarpanlara ayrıldığında, her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan çözüm iki durumdan gelir: ya ∣x−2∣=0|x - 2| = 0 (yani x=2x = 2) ya da ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0 (yani −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1) olur. Bu iki kümenin birleşiminden elde edilen tam sayılar −3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22 olup toplamları -4 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin sol tarafındaki ifadeyi iki kare farkı özdeşliği ve mutlak değerin çarpım özelliğini kullanarak çarpanlarına ayırın.
∣x−2∣⋅∣x+2∣≤∣x−2∣|x - 2| \cdot |x + 2| \leq |x - 2|
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) olduğundan ∣x2−4∣=∣x−2∣∣x+2∣|x^2-4| = |x-2||x+2| olarak yazılabilir.
2
Tüm ifadeleri sol tarafa toplayarak ortak çarpan parantezine alın.
∣x−2∣⋅(∣x+2∣−1)≤0|x - 2| \cdot (|x + 2| - 1) \leq 0
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için çarpanlar��n işaretlerini incelemek gerekir.
3
Çarpanların sıfırdan küçük veya eşit olma durumlarını inceleyin.
∣x−2∣=0|x - 2| = 0 veya ∣x+2∣−1≤0|x + 2| - 1 \leq 0
Her xx gerçel sayısı için ∣x−2∣≥0|x - 2| \geq 0 olduğundan, çarpımın sonucunun sıfırdan küçük veya eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması ya da ikinci çarpanın negatif olması gerekir.
4
Her iki durumu ayrı ayrı çözün.
x=2x = 2 ve −3≤x≤−1-3 \leq x \leq -1
∣x−2∣=0⇒x=2|x - 2| = 0 \Rightarrow x = 2 olur. ∣x+2∣≤1⇒−1≤x+2≤1⇒−3≤x+2≤1⇒−3≤x≤−1|x + 2| \leq 1 \Rightarrow -1 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x + 2 \leq 1 \Rightarrow -3 \leq x \leq -1 elde edilir.
5
Bulunan çözüm aralıklarındaki tam sayıları listeleyin.
−3,−2,−1-3, -2, -1 ve 22
Hem aralıktaki uç değerler dahil olduğundan hem de tek nokta çözümü olan 22 gerçel sayısı birer tam sayıdır.
6
Bu tam sayıları toplayın.
−3+(−2)+(−1)+2=−4-3 + (-2) + (-1) + 2 = -4
İstenen tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Mutlak değerli ifadelerin çarpım özelliği ve mutlak değerin negatif olamama kuralı.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic