Examkin

Question

Difficulty: Hardİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x+6x)2−12(x+6x)+35=0\left(x + \frac{6}{x}\right)^2 - 12\left(x + \frac{6}{x}\right) + 35 = 0
denkleminin gerçel köklerinden asal sayı olanların toplamı kaçtır?

Answer: 5

Answer

Denklemin asal sayı olan gerçel köklerinin toplamı 5'tir.
Denklemde x+6x=tx + \frac{6}{x} = t dönüşümü uygulandığında elde edilen t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denkleminin kökleri t=5t = 5 ve t=7t = 7 olur. Bu değerler yerine yazıldığında elde edilen x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ve x2−7x+6=0x^2 - 7x + 6 = 0 denklemlerinin kökleri sırasıyla {2,3}\{2, 3\} ve {1,6}\{1, 6\}'dır. Bu kökler arasından sadece 2 ve 3 asal sayı olduğundan toplamları 5 yapar.

Step-by-Step Solution

1
t=x+6xt = x + \frac{6}{x} dönüşümü yapmak
t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denklemi elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak yüksek dereceli denklem ikinci dereceden denkleme indirgenir.
2
t2−12t+35=0t^2 - 12t + 35 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek
t=5t = 5 ve t=7t = 7 kökleri elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle yardımcı değişkenin alabileceği değerler hesaplanır.
3
xx değişkenine bağlı denklemleri çözmek
Kökler kümesi {1,2,3,6}\{1, 2, 3, 6\} olarak bulunur.
x+6x=5x + \frac{6}{x} = 5 ve x+6x=7x + \frac{6}{x} = 7 denklemleri çözülerek orijinal denklemin tüm gerçel kökleri elde edilir.
4
Kökler arasından asal olanları belirleyip toplamak
Asal kökler 2 ve 3 olup toplamları 5'tir.
1 sayısının asal olmadığı gerçeği göz önünde bulundurularak sadece asal kökler toplanır.

Key Concept

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerin değişken değiştirme yöntemiyle çözülmesi ve köklerin sayı kümeleri özelliklerine göre analiz edilmesi.
Rate this question

Topics

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri