Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi
Gerçek sayılar kümesinin en geniş alt kümesinde tanımlı
f(x)=a−∣x−2∣+∣x−2∣−bf(x) = \sqrt{a - |x - 2|} + \sqrt{|x - 2| - b}
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Answer
  4. D
    6
  5. E
    7

Answer

5
Tanım kümesinin [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] olarak verilmesi, köklerin tanımlı olma şartından gelen b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a eşitsizliğinin çözüm kümesi olan [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a] ifadesiyle örtüşmektedir. Buradan 2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4 ve 2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1 elde edilir. Bu değerler diğer sınırları da (2+1=32 + 1 = 3 ve 2+4=62 + 4 = 6) sağladığından tutarlıdır. Dolayısıyla a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5 olur.

Step-by-Step Solution

1
Kareköklü ifadelerin gerçek sayılar kümesinde tanımlı olabilmesi için kök içlerinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerektiği kuralını uygulayın.
a−∣x−2∣≥0  ⟹  ∣x−2∣≤aa - |x - 2| \geq 0 \implies |x - 2| \leq a ve ∣x−2∣−b≥0  ⟹  ∣x−2∣≥b|x - 2| - b \geq 0 \implies |x - 2| \geq b
Çift dereceden köklü ifadelerin tanımlı olması için kök içi negatif olamaz.
2
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek mutlak değerli ifade için ortak bir aralık belirleyin.
b≤∣x−2∣≤ab \leq |x - 2| \leq a
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki köklü ifadenin de eş zamanlı olarak tanımlı olması gerekir.
3
Verilen tanım kümesi iki ayrık aralığın birleşimi ([−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6]) olduğundan, b>0b > 0 olması gerektiğini tespit edin ve eşitsizliği iki durum halinde çözün.
Durum 1 (x−2≥0x - 2 \geq 0): b≤x−2≤a  ⟹  2+b≤x≤2+ab \leq x - 2 \leq a \implies 2 + b \leq x \leq 2 + a
Durum 2 (x−2<0x - 2 < 0): b≤−(x−2)≤a  ⟹  −a≤x−2≤−b  ⟹  2−a≤x≤2−bb \leq -(x - 2) \leq a \implies -a \leq x - 2 \leq -b \implies 2 - a \leq x \leq 2 - b
Birleşik Çözüm Kümesi: [2−a,2−b]∪[2+b,2+a][2 - a, 2 - b] \cup [2 + b, 2 + a]
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif iki sınır arasında kalması durumunda, ifadenin kendisi de bu sınırların pozitif ve negatif değerleri arasında yer alır.
4
Bulunan genel çözüm kümesini soruda verilen [−2,1]∪[3,6][-2, 1] \cup [3, 6] tanım kümesi ile eşleştirerek aa ve bb değerlerini hesaplayın.
2−a=−2  ⟹  a=42 - a = -2 \implies a = 4
2−b=1  ⟹  b=12 - b = 1 \implies b = 1
2+b=3  ⟹  b=12 + b = 3 \implies b = 1
2+a=6  ⟹  a=42 + a = 6 \implies a = 4
Buradan a=4a = 4 ve b=1b = 1 olarak elde edilir.
Elde edilen genel aralık sınırlarının, verilen tanım kümesinin sınır değerleriyle birebir uyuşması zorunludur.
5
Bulunan aa ve bb değerlerini toplayarak sonuca ulaşın.
a+b=4+1=5a + b = 4 + 1 = 5
Soruda bizden istenen a+ba + b toplamıdır.

Key Concept

Köklü ifadelerin tanımlı olma şartı ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümelerinin analizi
Rate this question

Topics

Fonksiyon Kavramı ve Tanım Kümesi

More questions from this topic