Examkin

Question

Difficulty: HardRutin Olmayan Problemler

Üç basamaklı bir doğal sayının, yan yana bulunan her iki basamağındaki rakamların farkının mutlak değerleri toplamına bu sayının dalgalanma değeri denir.

Örneğin; 372372 sayısının dalgalanma değeri ∣3−7∣+∣7−2∣=4+5=9|3-7| + |7-2| = 4 + 5 = 9 dur.

Rakamları birbirinden farklı olan bir ABCABC üç basamaklı doğal sayısı ile bu sayının tersten yazılışı olan CBACBA sayısının dalgalanma değerlerinin toplamı 1616 dır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı ABCABC doğal sayısı yazılabilir?

Answer: 66

Answer

Bu koşulu sağlayan 66 farklı ABC doğal sayısı yazılabilir.
Soruda verilen dalgalanma değeri tanımına göre, ABCABC sayısının dalgalanma değeri ∣A−B∣+∣B−C∣|A-B| + |B-C|'dir. Bu sayının tersi olan CBACBA sayısının dalgalanma değeri ise ∣C−B∣+∣B−A∣|C-B| + |B-A|'dır. Mutlak değer özelliğinden dolayı bu iki değer eşittir. Dolayısıyla toplamları 2(∣A−B∣+∣B−C∣)=16  ⟹  ∣A−B∣+∣B−C∣=82(|A-B| + |B-C|) = 16 \implies |A-B| + |B-C| = 8 olur. Rakamları birbirinden farklı ve A≠0A \neq 0 koşullarını sağlayan (A,B,C)(A, B, C) üçlüleri tek tek incelendiğinde 66 farklı çözüm elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dalgalanma değeri tanım��nı kullanarak matematiksel ifadeyi yazalım.
2(∣A−B∣+∣B−C∣)=16  ⟹  ∣A−B∣+∣B−C∣=82(|A-B| + |B-C|) = 16 \implies |A-B| + |B-C| = 8 eşitliği elde edilir.
ABCABC ve CBACBA sayıların��n dalgalanma değerleri sırasıyla ∣A−B∣+∣B−C∣|A-B| + |B-C| ve ∣C−B∣+∣B−A∣|C-B| + |B-A| olup birbirine eşittir.
2
Koşulları belirleyelim.
A≠0A \neq 0 olmalı ve A,B,CA, B, C rakamları birbirinden farklı olmalıdır.
Sayı üç basamaklı olduğu için AA sıfır olamaz ve rakamlarının farklı olduğu soruda verilmiştir.
3
∣A−B∣=x|A-B| = x ve ∣B−C∣=y|B-C| = y tanımlayarak x+y=8x+y=8 denkleminin çözümlerini inceleyelim.
(x,y)(x,y) ikilileri (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1)(1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2), (7,1) olabilir.
Rakamlar farklı olduğundan A≠B  ⟹  x≥1A \neq B \implies x \geq 1 ve B≠C  ⟹  y≥1B \neq C \implies y \geq 1 olmalıdır.
4
Her bir BB değeri için (A,B,C)(A, B, C) üçlülerini bulup toplayalım.
Koşulları sağlayan toplam 66 adet üç basamaklı sayı yazılabilir.
BB rakamının alabileceği 0'dan 9'a kadar tüm değerler için AA ve CC değerleri listelenip rakamların farklılığı ve A≠0A \neq 0 koşulu kontrol edilerek sayılır.

Key Concept

Rutin olmayan basamak analizi ve mutlak değerli denklemler
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic