Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri inceleyen bir öğrenci; doğal sayılar (N\mathbb{N}), tam sayılar (Z\mathbb{Z}), rasyonel sayılar (Q\mathbb{Q}) ve irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümelerinin elemanlarını belirlemek için bir çalışma yapmaktadır.

Bu öğrenci, aşağıdaki sayıları uygun sayı kümeleriyle doğru şekilde eşleştirmek istiyor:

I. −0,4-\sqrt{0,4}

II. 2,25\sqrt{2,25}

III. π3\frac{\pi}{3}

IV. 0,6‾0,\overline{6}

V. (−3)2\sqrt{(-3)^2}

Buna göre, verilen sayılardan hangileri irrasyonel sayılar (Q′\mathbb{Q}') kümesinin birer elemanıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. I ve IIIAnswer
  4. D
    II ve IV
  5. E
    I, III ve V

Answer

Verilen sayılardan −0,4-\sqrt{0,4} ve π3\frac{\pi}{3} irrasyonel sayılar olup doğru yanıt 'I ve III' seçeneğidir.
Doğru seçenek olan 'I ve III' ifadesindeki −0,4-\sqrt{0,4} sayısı karekök dışına rasyonel olarak çıkamaz ve π3\frac{\pi}{3} sayısı π\pi irrasyonel olduğu için irrasyoneldir. Diğer tüm sayılar rasyonel sayıdır.

Step-by-Step Solution

1
Birinci sayıyı (−0,4-\sqrt{0,4}) analiz etme
−0,4=−410=−210-\sqrt{0,4} = -\sqrt{\frac{4}{10}} = -\frac{2}{\sqrt{10}} elde edilir. Karekök dışına tam sayı olarak çıkamayan 10\sqrt{10} ifadesi nedeniyle bu sayı irrasyoneldir (−0,4∈Q′-\sqrt{0,4} \in \mathbb{Q}').
Ondalık kesrin karekökünün rasyonel olup olmadığını belirlemek.
2
İkinci sayıyı (2,25\sqrt{2,25}) analiz etme
2,25=225100=1510=1,5\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{15}{10} = 1,5 elde edilir. İki tam sayının oranı şeklinde yazılabildiği için bu sayı rasyoneldir (2,25∈Q\sqrt{2,25} \in \mathbb{Q}).
Karekök içerisindeki ondalık sayının rasyonel bir sayıya eşit olup olmadığını kontrol etmek.
3
Üçüncü sayıyı (π3\frac{\pi}{3}) analiz etme
π\pi sayısı irrasyonel bir sayı olduğundan, bu sayının sıfırdan farklı bir tam sayıya bölümü olan π3\frac{\pi}{3} sayısı da irrasyoneldir (π3∈Q′\frac{\pi}{3} \in \mathbb{Q}').
İrrasyonel bir sayının rasyonel bir sayıya oranının irrasyonelliğini incelemek.
4
Dördüncü sayıyı (0,6‾0,\overline{6}) analiz etme
0,6‾=69=230,\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} elde edilir. Her devirli ondalık sayı rasyonel sayı olarak yazılabildiğinden bu sayı rasyoneldir (0,6‾∈Q0,\overline{6} \in \mathbb{Q}).
Devirli ondalık sayıların rasyonel sayı tanımına uygunluğunu kontrol etmek.
5
Beşinci sayıyı ((−3)2\sqrt{(-3)^2}) analiz etme
(−3)2=∣−3∣=3\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 elde edilir. 33 sayısı bir doğal sayı ve tam sayı olduğundan rasyoneldir ((−3)2∈Q\sqrt{(-3)^2} \in \mathbb{Q}).
Çift dereceden kök içindeki üslü ifadenin mutlak değer dışına çıkarılarak rasyonelliğinin değerlendirilmesi.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farklar ve sayı kümelerinin tanımları.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic