Examkin

Question

Difficulty: MediumRutin Olmayan Problemler

Matematik öğretmeni Selim Bey, tahtaya pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tan��mlı bir ff fonksiyonunun kuralını şu şekilde yazmıştır:

* Giriş yapılan sayı tek basamaklı ise fonksiyonun çıktısı sayının kendisine eşittir.
* Giriş yapılan sayı en az iki basamaklı ise fonksiyonun çıktısı; sayının rakamları toplamı ile sayının ilk ve son rakamlarının çarpımının toplamına eşittir.

Selim Bey bu fonksiyona örnek olarak;
f(24)=(2+4)+(2⋅4)=14f(24) = (2+4) + (2 \cdot 4) = 14
f(14)=(1+4)+(1⋅4)=9f(14) = (1+4) + (1 \cdot 4) = 9
işlemlerini yapmış ve f(f(24))=9f(f(24)) = 9 olduğunu göstermiştir.

Buna göre, f(x)=xf(x) = x eşitliğini sağlayan iki basamaklı kaç farklı xx doğal sayısı vardır?

  1. A
    1
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    10
  5. E
    5

Answer

Koşulu sağlayan iki basamaklı 9 farklı sayı vardır.
İki basamaklı abab sayısı için tanımlanan fonksiyonun çıktısı, sayının kendisine eşitlendiğinde a+b+a⋅b=10a+ba + b + a \cdot b = 10a + b denklemi elde edilir. Bu denklem sadeleştirildiğinde a⋅b=9aa \cdot b = 9a olur. abab iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağı olan aa sıfırdan farklıdır (a≠0a \neq 0). Dolayısıyla her iki taraf aa ile bölündüğünde b=9b = 9 bulunur. aa rakamı 1'den 9'a kadar 9 farklı değer alabileceğinden (19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99) bu koşulu sağlayan 9 farklı iki basamaklı sayı vardır.

Step-by-Step Solution

1
İki basamaklı bir xx sayısı abab şeklinde modellenir ve basamak çözümlemesi yapılarak x=10a+bx = 10a + b şeklinde yazılır. Burada a∈{1,2,…,9}a \in \{1, 2, \dots, 9\} ve b∈{0,1,…,9}b \in \{0, 1, \dots, 9\} dur.
x=10a+bx = 10a + b ifadesi elde edilir.
Sayıyı cebirsel olarak ifade edip denklem kurabilmek için basamak çözümlemesi yapılır.
2
Tanımlanan ff fonksiyonu iki basamaklı abab sayısına uygulanır: f(ab)=(a+b)+a⋅bf(ab) = (a + b) + a \cdot b. Bu ifade sayının kendisine eşitlenir: a+b+a⋅b=10a+ba + b + a \cdot b = 10a + b.
a+b+a⋅b=10a+ba + b + a \cdot b = 10a + b denklemi kurulur.
f(x)=xf(x) = x koşulunu sağlayan denklemi bulmak için.
3
Elde edilen denklemde her iki taraftaki bb terimleri sadeleştirilir: a+a⋅b=10aa + a \cdot b = 10a. Ardından soldaki aa terimi sağ tarafa atılarak a⋅b=9aa \cdot b = 9a elde edilir.
a⋅b=9aa \cdot b = 9a bağıntısı elde edilir.
Bilinmeyenler arasındaki ilişkiyi sadeleştirmek için.
4
abab iki basamaklı bir sayı olduğundan onlar basamağındaki aa rakamı sıfır olamaz (a≠0a \neq 0). Bu nedenle a⋅b=9aa \cdot b = 9a denkleminde her iki taraf aa ile bölünerek b=9b = 9 bulunur.
b=9b = 9 olarak bulunur.
Sıfırdan farklı olan onlar basamağı sadeleştirilerek birler basamağı netleştirilir.
5
b=9b = 9 iken aa onlar basamağı 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarının hepsini alabilir. Bu sayılar 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 olmak üzere toplam 9 tanedir.
9 farklı iki basamaklı sayı olduğu bulunur.
Koşulu sağlayan tüm olası iki basamaklı sayıları belirlemek için.

Key Concept

Basamak çözümlemesi ve rutin olmayan fonksiyonel denklemlerin çözümü
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Rutin Olmayan Problemler

More questions from this topic