Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri
R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesi ve Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesi olmak üzere,
A={x∈R∣25−x2∈Z}A = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{25 - x^2} \in \mathbb{Z} \right\}
kümesi tanımlan��yor.

Buna göre, AA kümesinin rasyonel olan elemanlarının sayısı kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. C
    6
  4. 7Answer
  5. E
    11

Answer

7
Verilen kümenin elemanlarının rasyonel olabilmesi için, x2=25−k2x^2 = 25 - k^2 denkleminde 25−k225 - k^2 ifadesinin bir tam kare sayı olması gerekmektedir. Negatif olmayan kk tam sayıları için bu koşulu sağlayan durumlar incelendiğinde xx değerleri −5,−4,−3,0,3,4,5-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 olarak bulunur. Bu değerlerin her biri rasyonel sayı olduğundan toplam 7 adet rasyonel eleman vardır.

Step-by-Step Solution

1
Kök dışına tam sayı olarak çıkma koşulunu belirleme
25−x2=k\sqrt{25 - x^2} = k (Burada k≥0k \ge 0 ve k∈Zk \in \mathbb{Z})
Kareköklü bir ifadenin sonucunun tam sayı olması için karekökün içinin bir tam kare olması ve sonucun negatif olmayan bir tam sayıya eşit olması gerekir.
2
Karekökün içinin alabileceği değer aralığını belirleme
25−x2=k225 - x^2 = k^2 eşitliğinden x2=25−k2x^2 = 25 - k^2 elde edilir. xx gerçel sayı olduğundan x2≥0x^2 \ge 0 olmalıdır, bu da 25−k2≥0  ⟹  k2≤2525 - k^2 \ge 0 \implies k^2 \le 25 olmasını gerektirir.
xx sayısının gerçel sayı olması için karekökün içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması şarttır.
3
kk tam sayısının alabileceği değerleri bulma
k∈{0,1,2,3,4,5}k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}
Karesi 25'ten küçük veya eşit olan negatif olmayan tam sayılar bunlardır.
4
xx sayısının rasyonel olmasını sağlayan durumları belirleme
x=±25−k2x = \pm\sqrt{25 - k^2} ifadesinin rasyonel olması için 25−k225 - k^2 değerinin bir tam kare olması gerekir. Bu durumda 25−k2=m225 - k^2 = m^2 (m∈Zm \in \mathbb{Z}, m≥0m \ge 0) yazılabilir. Buradan k2+m2=25k^2 + m^2 = 25 elde edilir.
Bir sayının karekökünün rasyonel olabilmesi için kök içerisindeki sayının rasyonel bir sayının karesi olması gerekir. Burada xx değerlerinin tam sayı çıkması rasyonellik şartını sağlar.
5
k2+m2=25k^2 + m^2 = 25 denklemini sağlayan negatif olmayan tam sayı çiftlerini bulma ve xx değerlerini hesaplama
(k,m)(k, m) çiftleri: (0,5)(0, 5), (3,4)(3, 4), (4,3)(4, 3), (5,0)(5, 0) olabilir. Bu durumlarda xx değerleri sırasıyla:
- k=0  ⟹  x2=25  ⟹  x=±5k = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5
- k=3  ⟹  x2=16  ⟹  x=±4k = 3 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4
- k=4  ⟹  x2=9  ⟹  x=±3k = 4 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3
- k=5  ⟹  x2=0  ⟹  x=0k = 5 \implies x^2 = 0 \implies x = 0
olur.
Toplamları 25 olan tam kare tam sayılar belirlenerek bu şartı sağlayan rasyonel xx değerleri listelenir.
6
Rasyonel elemanların toplam sayısını bulma
Rasyonel elemanlar kümesi {−5,−4,−3,0,3,4,5}\{-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5\} olup eleman sayısı 7'dir.
Bulunan tüm rasyonel değerler sayılarak kümenin rasyonel eleman sayısı elde edilir.

Key Concept

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel, irrasyonel ve tam sayı kümelerinin elemanlarının özelliklerini kavrama ve bu kümeler arasındaki ilişkileri analiz etme.
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic