Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Bir spor kulübündeki sporcuların antrenmanlarında kullandıkları A ve B salonları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Kulüpteki toplam sporcu sayısı 50'dir.
* A salonunu kullanan sporcu sayısı, B salonunu kullanan sporcu sayısının 2 katıdır.
* Sadece B salonunu kullanan sporcu sayısı, her iki salonu da kullanan sporcu sayısının 3 katıdır.
* Bu iki salonun hiçbirini kullanmayan sporcu sayısı 6'dır.

Buna göre, A salonunu kullanan sporcu sayısı kaçtır?

Answer: 32

Answer

A salonunu kullanan sporcu sayısı 32'dir.
A ve B salonlarından en az birini kullanan sporcu sayısı 44'tür. Kesişim bölgesine xx denildiğinde, sadece B salonunu kullananlar 3x3x ve B salonunu kullananların tamamı 4x4x olur. Bu durumda A salonunu kullananlar 8x8x olur. Birleşim kümesi s(A)+s(B∖A)=8x+3x=11xs(A) + s(B \setminus A) = 8x + 3x = 11x olarak ifade edilir. Buradan 11x=44  ⟹  x=411x = 44 \implies x = 4 bulunur. A salonunu kullanan sporcu sayısı ise 8x=8⋅4=328x = 8 \cdot 4 = 32 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Salonları kullanmayan sporcuları toplam sporcu sayısından çıkarmak
s(A∪B)=44s(A \cup B) = 44
En az bir salonu kullanan sporcu sayısını belirlemek amacıyla toplam sporcu sayısından hiçbir salonu kullanmayanları çıkarırız.
2
Küme bölgelerini bilinmeyen bir değişken cinsinden ifade etmek
s(A∩B)=xs(A \cap B) = x, s(B∖A)=3xs(B \setminus A) = 3x ve s(B)=4xs(B) = 4x
Kesişim bölgesine değişken atanarak verilen kat ilişkilerine göre B kümesinin alt bölgeleri tanımlanır.
3
A kümesinin eleman sayısını değişken cinsinden bulmak
s(A)=8xs(A) = 8x
A salonunu kullananların sayısı, B salonunu kullananların 2 katı olarak verildiği için belirlenen ifade iki ile çarpılır.
4
Birleşim kümesinin eleman sayısı üzerinden değişkeni çözmek
x=4x = 4
Birleşim kümesinin eleman sayısı, A kümesi ile sadece B salonunu kullananların toplamı şeklinde yazılarak denklem çözülür.
5
İstenen kümenin eleman sayısını hesaplamak
s(A)=32s(A) = 32
Değişkenin değeri yerine yazılarak A salonunu kullanan sporcu sayısı hesaplanır.

Key Concept

Kümelerde kesişim, birleşim ve fark işlemleri ile küme eleman sayılarının modellenmesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

More questions from this topic