Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Eni x−3x-3 birim ve boyu P(x)P(x) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir panonun alanı A(x)A(x) polinomu ile ifade edilmektedir.

A(x)A(x) polinomunun katsayılarının toplamı −6-6 ve P(x)P(x) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55'tir.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−3x+2x^2 - 3x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2x+12x + 1Answer
  2. B
    −2x+7-2x + 7
  3. C
    8x−118x - 11
  4. D
    11x−1711x - 17
  5. E
    x2−x+3x^2 - x + 3

Answer

Kalan polinomu 2x+12x + 1 ifadesidir.
Doğru cevap olan 2x+12x + 1 ifadesi, A(1)=−6  ⟹  P(1)=3A(1) = -6 \implies P(1) = 3 ve P(2)=5P(2) = 5 eşitlikleri kullanılarak ax+bax+b kalan modelindeki a+b=3a+b=3 ve 2a+b=52a+b=5 denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Dikdörtgenin alan bağıntısını yazarak A(x)A(x) ile P(x)P(x) polinomları arasındaki ilişkiyi kurma.
A(x)=(x−3)⋅P(x)A(x) = (x-3) \cdot P(x)
Panonun eni x−3x-3 birim ve boyu P(x)P(x) birim olduğundan, alanı bu iki değerin çarp��mı ile ifade edilir.
2
A(x)A(x) polinomunun katsayılar toplamını kullanarak P(1)P(1) değerini elde etme.
P(1)=3P(1) = 3
Bir polinomun katsayılar toplamını bulmak için değişken yerine 11 yazılır. A(1)=−6A(1) = -6 olduğuna göre, (1−3)⋅P(1)=−6  ⟹  −2⋅P(1)=−6  ⟹  P(1)=3(1-3) \cdot P(1) = -6 \implies -2 \cdot P(1) = -6 \implies P(1) = 3 olur.
3
P(x)P(x) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan bilgisini matematiksel olarak ifade etme.
P(2)=5P(2) = 5
Bir P(x)P(x) polinomunun x−kx-k ile bölümünden kalan P(k)P(k) değerine eşittir. Burada bölen x−2x-2 olduğundan kalan P(2)=5P(2) = 5 olur.
4
P(x)P(x) polinomunun x2−3x+2x^2 - 3x + 2 ile bölümünden kalanı modelleme.
P(x)=(x−1)(x−2)⋅B(x)+ax+bP(x) = (x-1)(x-2) \cdot B(x) + ax + b
Bölen polinom ikinci dereceden (x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)) olduğundan, kalan polinomunun derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır. Dolayısıyla kalan en fazla birinci dereceden bir ax+bax+b ifadesidir.
5
P(1)P(1) ve P(2)P(2) değerlerini modelde yerine yazarak aa ve bb katsayılarını çözme.
a=2a = 2 ve b=1b = 1 olup kalan polinomu 2x+12x + 1 olarak bulunur.
x=1x=1 için a+b=P(1)=3a+b = P(1) = 3 ve x=2x=2 için 2a+b=P(2)=52a+b = P(2) = 5 denklem sistemi elde edilir. İkinci denklemden birinci denklem çıkarıldığında a=2a=2 bulunur. Buradan b=1b=1 elde edilir.

Key Concept

Polinomlarda bölme algoritması, kalan teoremi ve katsayılar toplamı ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic