Examkin

Question

Difficulty: HardKüme Problemleri

Bir seyahat acentesiyle tura katılan 6060 turistten her biri Efes (EE), Kapadokya (KK) ve Pamukkale (PP) bölgelerinden en az birini ziyaret etmiştir. Bu turistlerin ziyaret ettikleri bölgelerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Efes'i ziyaret eden turist sayısı, Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısından 88 fazladır.
* Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayısı, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısının 44 katıdır.
* En az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı 2222'dir.
* Her üç bölgeyi de ziyaret eden turist sayısı 44'tür.
* Sadece Efes'i ve sadece Pamukkale'yi ziyaret eden turist sayıları birbirine eşittir.

Buna göre, sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı kaçtır?

  1. A
    66
  2. 88Answer
  3. C
    1010
  4. D
    1212
  5. E
    1313

Answer

Sadece Kapadokya'yı ziyaret eden turist sayısı 88'dir.
Doğru cevap, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenlerin sayısının 88 olduğunu belirten seçenektir. Küme bölgeleri değişkenlerle ifade edilip verilen koşullar uygulandığında, bölgelerin eleman sayılarının negatif olmama ve tam sayı olma koşullarından sadece 88 değeri tüm denklemleri ve fiziksel sınırları sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Seyahat eden turistlerin bölgelerini gösteren bir Venn şeması çizerek bölgeleri harflendirelim.
Sadece Efes'i ziyaret edenler ee, sadece Kapadokya'yı ziyaret edenler kk, sadece Pamukkale'yi ziyaret edenler pp olsun. Sadece iki bölgeyi ziyaret edenler ekek, kpkp, epep ve üç bölgeyi de ziyaret edenler ekp=4ekp = 4 olarak belirlenir.
Problemi cebirsel denklemlere dökebilmek için her bölgeye bir değişken atamamız gerekir.
2
Toplam turist sayısı ve en az iki bölgeyi ziyaret eden turist sayısı bilgilerini kullanarak temel denklemleri yazalım.
e+k+p+ek+kp+ep+4=60e + k + p + ek + kp + ep + 4 = 60 ve ek+kp+ep+4=22  ⟹  ek+kp+ep=18ek + kp + ep + 4 = 22 \implies ek + kp + ep = 18 bulunur. Buradan e+k+p+22=60  ⟹  e+k+p=38e + k + p + 22 = 60 \implies e + k + p = 38 elde edilir.
Bölgelerin toplamı ile kesişim eleman sayıları arasındaki ilişkileri sadeleştirmek amacıyla bu denklemler kurulur.
3
Sadece Efes ve sadece Pamukkale'yi ziyaret edenlerin eşitliği (e=pe = p) ile diğer koşulları birleştirip değişkenleri tek bir bilinmeyen olan kk cinsinden ifade edelim.
2e+k=38  ⟹  e=19−0,5k2e + k = 38 \implies e = 19 - 0,5k olur. P=4kP = 4k ve E=K+8E = K + 8 denklemlerinden sırasıyla ep=3k−17ep = 3k - 17, kp=1,5k−6kp = 1,5k - 6 ve ek=41−4,5kek = 41 - 4,5k bağıntıları elde edilir.
Tüm bölge eleman sayılarını tek bir değişken (kk) cinsinden yazarak çözüm kümesini sınırlandırmak hedeflenir.
4
Bölgelerin eleman sayılarının negatif olamayacağı (ek≥0ek \ge 0, kp≥0kp \ge 0, ep≥0ep \ge 0) ve tam sayı olması gerektiği koşulunu uygulayarak kk değerini bulalım.
kp=1,5k−6kp = 1,5k - 6 ifadesinin tam sayı olması için kk çift olmalıdır. Ayrıca ep=3k−17≥0  ⟹  k≥5,67ep = 3k - 17 \ge 0 \implies k \ge 5,67 ve ek=41−4,5k≥0  ⟹  k≤9,11ek = 41 - 4,5k \ge 0 \implies k \le 9,11 sınırları elde edilir. Bu aralıktaki tek çift tam sayı k=8k = 8'dir.
Bir kümenin eleman sayısı negatif olamayacağından ve mutlaka bir tam sayı olması gerektiğinden bu sınır koşulları tek bir çözüm üretir.

Key Concept

Küme problemlerinde Venn şeması bölgelerinin değişkenler yardımıyla modellenmesi ve tam sayı sınır koşullarının analizi.
Rate this question

Topics

Küme Problemleri

More questions from this topic