Examkin

Question

Difficulty: HardPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2+1x^2 + 1 ile kalansız bölünebilmektedir. P(x)P(x) polinomunun x−1x - 1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, P(x)P(x) polinomunun x2+x−2x^2 + x - 2 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3x−13x - 1
  2. B
    x+3x + 3
  3. 3x+13x + 1Answer
  4. D
    x2+2x−1x^2 + 2x - 1
  5. E
    x−3x - 3

Answer

3x+13x + 1 ifadesidir.
Doğru cevap 3x+13x + 1 ifadesidir. Çünkü baş katsayısı 1 olan ve x2+1x^2 + 1 ile tam bölünen üçüncü dereceden polinom P(x)=(x+1)(x2+1)P(x) = (x + 1)(x^2 + 1) şeklinde kurulur. Bu polinomun x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) ile bölümünden kalan ax+bax + b formundadır. P(1)=4P(1) = 4 ve P(−2)=−5P(-2) = -5 değerleri kullanılarak kurulan denklem sistemi çözüldüğünde a=3a = 3 ve b=1b = 1 bulunarak kalan 3x+13x + 1 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Polinomun genel denklemini yazmak
P(x)=(x+c)(x2+1)P(x) = (x + c)(x^2 + 1)
Polinomun üçüncü dereceden, baş katsayısının 1 olması ve x2+1x^2 + 1 ile tam bölünebilmesi, bölüm polinomunun birinci dereceden ve baş katsayısının 1 olmasını gerektirir.
2
P(1)=4P(1) = 4 bilgisini kullanarak cc sabitini bulmak
c=1  ⟹  P(x)=(x+1)(x2+1)c = 1 \implies P(x) = (x + 1)(x^2 + 1)
Polinomun x−1x - 1 ile bölümünden kalan 4 olduğundan Kalan Teoremi gereği P(1)=4P(1) = 4 olmalıdır. Bu değer polinomda yerine yazıldığında c=1c = 1 elde edilir.
3
Bölenin köklerini ve bu noktalardaki polinom değerlerini belirlemek
x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) olup kökler x=1x = 1 ve x=−2x = -2'dir. Buradan P(1)=4P(1) = 4 ve P(−2)=−5P(-2) = -5 bulunur.
Kalanı bulabilmek için bölen polinomu sıfır yapan kök değerlerindeki polinom değerleri hesaplanır.
4
Kalan polinomunu ax+bax + b şeklinde yazıp katsayıları bulmak için denklem sistemini çözmek
a+b=4a + b = 4 ve −2a+b=−5-2a + b = -5 denklem sisteminden a=3,b=1a = 3, b = 1 bulunur. Böylece kalan 3x+13x + 1 olarak elde edilir.
Bölen polinom ikinci dereceden olduğu için kalan polinom en fazla birinci dereceden (ax+bax + b) olabilir.

Key Concept

Polinomlarda kalan bulma ve bölme bağıntısı
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic