Examkin

Question

Difficulty: MediumKümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

Pozitif tam sayılar kümesinde AA ve BB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanıyor:

A={x∣10<x<50, x=3k, k∈Z+}A = \{x \mid 10 < x < 50, \ x = 3k, \ k \in \mathbb{Z}^+\}
B={x∣15≤x≤75, x=4m, m∈Z+}B = \{x \mid 15 \le x \le 75, \ x = 4m, \ m \in \mathbb{Z}^+\}

Buna göre, A∪BA \cup B kümesinin elemanlarından kaç tanesi çift sayıdır?

Answer: 19

Answer

Birleşim kümesindeki çift sayı olan eleman sayısı 19'dur.
A ve B kümelerinin çift elemanlarının birleşimi bulunurken, her iki kümedeki çift elemanların toplamından ortak olan kesişim kümesindeki elemanlar çıkarılır. A kümesindeki çift eleman sayısı 7, B kümesindeki (tamamı çift olan) eleman sayısı 15 ve kesişim kümesindeki eleman sayısı 3 olduğundan, toplam çift eleman sayısı 7 + 15 - 3 = 19 olur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesindeki çift elemanların sayıs��nı belirleme
A∩E={12,18,24,30,36,42,48}A \cap E = \{12, 18, 24, 30, 36, 42, 48\} olup s(A∩E)=7s(A \cap E) = 7 bulunur.
A kümesindeki elemanlar arasından çift olanları (yani hem 3'ün hem de 2'nin katı olan 6'nın katlarını) bulmamız gerekir.
2
B kümesinin eleman sayısını belirleme
B={16,20,24,…,72}B = \{16, 20, 24, \dots, 72\} olup s(B)=15s(B) = 15 bulunur.
B kümesinin elemanları 4'ün katı olduğundan tamamı çift sayıdır. Dolayısıyla B kümesinin eleman sayısı doğrudan çift eleman sayısıdır.
3
A ve B kümelerinin kesişim kümesinin eleman sayısını bulma
A∩B={24,36,48}A \cap B = \{24, 36, 48\} olup s(A∩B)=3s(A \cap B) = 3 bulunur.
Her iki kümede ortak bulunan elemanlar hem 3'ün hem de 4'ün katı (yani 12'nin katı) ve 15≤x<5015 \le x < 50 aralığında olmalıdır. Bu elemanlar her iki kümede de çift olduğu için iki kez sayılmamaları adına kesişim kümesini bulmalıyız.
4
Birleşim kümesindeki çift eleman sayısını hesaplama
s((A∪B)∩E)=s(A∩E)+s(B)−s(A∩B)=7+15−3=19s((A \cup B) \cap E) = s(A \cap E) + s(B) - s(A \cap B) = 7 + 15 - 3 = 19 bulunur.
Birleşim kümesinin eleman sayısı bulunurken iki kümenin eleman sayıları toplanıp kesişim kümesinin eleman sayısı çıkarılır.

Key Concept

Kümelerde kesişim ve birleşim işlemlerinin eleman sayısı özellikleri ve küme belirtme
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri

More questions from this topic