Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Dört İşlem
P(x)=(x2−x+1)3⋅(2x−1)4P(x) = (x^2 - x + 1)^3 \cdot (2x - 1)^4 polinomunun açılımında x2x^2 li terimin katsay��sı kaçtır?
  1. A
    24
  2. B
    36
  3. C
    42
  4. 54Answer
  5. E
    108

Answer

Çarpım polinomunun açılımında x2x^2 li terimin katsayısı 54'tür.
Çarpım polinomunda x2x^2 li terimin katsayısı, çarpan polinomların dereceleri 0, 1 ve 2 olan terimlerinin karşılıklı çarpımlarının toplamıyla bulunur. Çarpanların açılımlarından sırasıyla 1−3x+6x21 - 3x + 6x^2 ve 1−8x+24x21 - 8x + 24x^2 terimleri elde edilir. Bunların çarpımından gelen x2x^2 li terimlerin katsayıları toplamı 1⋅24+(−3)⋅(−8)+6⋅1=541 \cdot 24 + (-3) \cdot (-8) + 6 \cdot 1 = 54 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
P(x)P(x) polinomunu oluşturan iki çarpanın her birinde, derecesi en fazla 2 olan terimleri bulmak için ifadeleri x3x^3 modunda (yani sadece x2x^2 ye kadar olan terimlerle) yazalım.
(x2−x+1)3(x^2 - x + 1)^3 ve (2x−1)4(2x - 1)^4 ifadelerinin x2x^2 ye kadar olan açılımları belirlenir.
Çarpımda x2x^2 li terimi elde etmek için sadece derecesi 2 ve daha küçük olan terimler yeterlidir.
2
Birinci çarpan olan (1−x+x2)3(1 - x + x^2)^3 ifadesinin açılımını yapalım: (1−y)3=1−3y+3y2−y3(1 - y)^3 = 1 - 3y + 3y^2 - y^3 özdeşliğinde y=x−x2y = x - x^2 yazarsak, derecesi 2'den büyük terimleri ihmal ettiğimizde: 1−3(x−x2)+3(x−x2)2≈1−3x+3x2+3x2=1−3x+6x21 - 3(x - x^2) + 3(x - x^2)^2 \approx 1 - 3x + 3x^2 + 3x^2 = 1 - 3x + 6x^2 elde edilir.
(x2−x+1)3≈1−3x+6x2(x^2 - x + 1)^3 \approx 1 - 3x + 6x^2
Birinci çarpanın x2x^2 ye kadar olan kısmını elde etmek.
3
İkinci çarpan olan (2x−1)4=(1−2x)4(2x - 1)^4 = (1 - 2x)^4 ifadesinin binom açılımını yapalım: (1−2x)4=(40)14+(41)13(−2x)1+(42)12(−2x)2+⋯≈1−8x+6(4x2)=1−8x+24x2(1 - 2x)^4 = \binom{4}{0}1^4 + \binom{4}{1}1^3(-2x)^1 + \binom{4}{2}1^2(-2x)^2 + \dots \approx 1 - 8x + 6(4x^2) = 1 - 8x + 24x^2 elde edilir.
(2x−1)4≈1−8x+24x2(2x - 1)^4 \approx 1 - 8x + 24x^2
İkinci çarpanın x2x^2 ye kadar olan kısmını elde etmek.
4
Bu iki ifadenin çarpımından x2x^2 li terimi oluşturacak e��leşmeleri bulalım: (1−3x+6x2)(1−8x+24x2)(1 - 3x + 6x^2)(1 - 8x + 24x^2) çarpımında x2x^2 terimi: 1⋅(24x2)+(−3x)⋅(−8x)+(6x2)⋅11 \cdot (24x^2) + (-3x) \cdot (-8x) + (6x^2) \cdot 1 işlemlerinden elde edilir.
24x2+24x2+6x2=54x224x^2 + 24x^2 + 6x^2 = 54x^2
İki ifadenin çarpımındaki x2x^2 li terimin katsayısını toplamak.

Key Concept

Polinomlarda çarpma işlemi ve belirli bir terimin katsayısını bulma

Alternative Method

Polinomun x2x^2 li teriminin katsayısı, Taylor serisi açılımı veya türev tanımı gereği P′′(0)2!\frac{P''(0)}{2!} değerine eşittir. Çarpımın türevi kuralı kullanılarak P′′(x)P''(x) hesaplanıp x=0x = 0 yazıldığında P′′(0)=108P''(0) = 108 elde edilir. Bu değer 2!=22! = 2 ye bölünerek 5454 katsayısına daha sistematik bir şekilde ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Polinomlarda Dört İşlem

More questions from this topic