Examkin

Question

Difficulty: MediumPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Üçüncü dereceden bir P(x)P(x) polinomu x2+2x^2 + 2 ile bölündüğünde 2x+32x + 3 kalanını vermektedir. Bu P(x)P(x) polinomunun sabit terimi 55 ve katsayılar toplamı 1414 olduğuna göre, P(−1)P(-1) değeri kaçtır?

Answer: -2

Answer

P(-1) değeri -2 olarak bulunur.
Bölme algoritmasına göre üçüncü dereceden P(x)P(x) polinomu, P(x)=(ax+b)(x2+2)+2x+3P(x) = (ax+b)(x^2+2) + 2x+3 şeklinde ifade edilir. Sabit terim P(0)=5P(0)=5 eşitliğinden b=1b=1, katsayılar toplamı P(1)=14P(1)=14 eşitliğinden a=2a=2 bulunur. Buradan hareketle P(x)=(2x+1)(x2+2)+2x+3P(x) = (2x+1)(x^2+2) + 2x+3 polinomunda x=−1x=-1 yazıldığında P(−1)=−2P(-1) = -2 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Polinomun genel ifadesini oluşturmak
P(x)=(ax+b)(x2+2)+2x+3P(x) = (ax + b)(x^2 + 2) + 2x + 3
Bölen polinom ikinci dereceden (x2+2x^2+2) ve P(x)P(x) üçüncü dereceden olduğundan, bölüm polinomu birinci dereceden (ax+bax+b) olmak zorundadır.
2
Sabit terim bilgisini kullanarak b değerini bulmak
b=1b = 1
Polinomun sabit terimi P(0)P(0) ile bulunur. P(0)=(a(0)+b)(02+2)+2(0)+3=2b+3=5P(0) = (a(0) + b)(0^2 + 2) + 2(0) + 3 = 2b + 3 = 5 eşitliğinden b=1b = 1 elde edilir.
3
Katsayılar toplamı bilgisini kullanarak a değerini bulmak
a=2a = 2
Polinomun katsayılar toplamı P(1)P(1) ile bulunur. P(1)=(a+1)(12+2)+2(1)+3=14P(1) = (a + 1)(1^2 + 2) + 2(1) + 3 = 14 eşitliğinden 3(a+1)+5=14  ⟹  a=23(a+1) + 5 = 14 \implies a = 2 elde edilir.
4
P(-1) değerini hesaplamak
P(−1)=−2P(-1) = -2
Polinom denklemi P(x)=(2x+1)(x2+2)+2x+3P(x) = (2x + 1)(x^2 + 2) + 2x + 3 olarak belirlenir. x=−1x = -1 yazılarak P(−1)=(2(−1)+1)((−1)2+2)+2(−1)+3=−2P(-1) = (2(-1) + 1)((-1)^2 + 2) + 2(-1) + 3 = -2 bulunur.

Key Concept

Bölme özdeşliği kullanılarak kalan bulma ve polinom katsayılarının bulunması
Rate this question

Topics

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

More questions from this topic