Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler
Bir xx ger��el sayısı için,
∣2x−6∣≤x−a|2x - 6| \le x - a
eşitsizliğini sağlayan hiçbir xx gerçel sayısı bulunmamaktadır.

Buna göre, aa sayısı için aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    a<3a < 3
  2. B
    a≤3a \le 3
  3. a>3a > 3Answer
  4. D
    a≥3a \ge 3
  5. E
    a>6a > 6

Answer

a>3a > 3 ifadesinin bulunduğu seçenek doğrudur.
Verilen ∣2x−6∣≤x−a|2x - 6| \le x - a eşitsizliğinin çözüm kümesinin boş küme olması için, eşitsizlik çözüldüğünde elde edilen alt sınırın üst sınırdan büyük olması gerekir. Yapılan işlemler sonucunda x≥a+63x \ge \frac{a+6}{3} ve x≤6−ax \le 6-a eşitsizliklerinin ortak elemanının bulunmaması koşulu a+63>6−a⇒a>3\frac{a+6}{3} > 6-a \Rightarrow a > 3 olarak bulunur. Sınır değeri olan a=3a=3 için x=3x=3 bir çözüm sağladığından a=3a=3 dahil edilmemeli, dolayısıyla doğru sonuç a>3a > 3 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitsizliğin çözümünün var olma koşulunu belirleme
x−a≥0⇒x≥ax - a \ge 0 \Rightarrow x \ge a
Mutlak değerli bir ifade negatif bir değerden küçük veya eşit olamayacağı için çözüm kümesinin boş kümeden farklı olması ancak sağ tarafın sıfırdan büyük veya eşit olmasıyla mümkündür.
2
Eşitsizliği mutlak değer kurallar��na göre açma
−(x−a)≤2x−6≤x−a-(x - a) \le 2x - 6 \le x - a
∣u∣≤v|u| \le v eşitsizliği −v≤u≤v-v \le u \le v şeklinde iki parçalı eşitsizlik olarak çözülür.
3
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözme
x≥a+63x \ge \frac{a+6}{3} ve x≤6−ax \le 6 - a
Birinci parçadan −x+a≤2x−6⇒3x≥a+6⇒x≥a+63-x + a \le 2x - 6 \Rightarrow 3x \ge a+6 \Rightarrow x \ge \frac{a+6}{3} elde edilir. İkinci parçadan 2x−6≤x−a⇒x≤6−a2x - 6 \le x - a \Rightarrow x \le 6-a elde edilir.
4
Çözüm kümesinin boş küme olması koşulunu inceleme
a+63>6−a⇒a>3\frac{a+6}{3} > 6 - a \Rightarrow a > 3
Eşitsizlik sisteminin ortak bir çözümünün olmaması (boş küme olması) için alt sınırın üst sınırdan kesinlikle büyük olması gerekir.
5
Sınır değerini kontrol etme
a=3a = 3 için çözüm kümesi boş küme değildir.
a=3a = 3 yazıldığında ∣2x−6∣≤x−3|2x - 6| \le x - 3 olur ve x=3x = 3 bu eşitsizliği sağladığı için sınır değeri dahil edilmemelidir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümesinin boş küme olması durumu ve sınır analizi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic