Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Kümeleri

aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
* a+ba + b toplamının bir irrasyonel sayı,
* a⋅ba \cdot b çarpımının bir rasyonel sayı
olduğu biliniyor.

Buna göre,
I. aa ve bb irrasyonel sayılardır.
II. a−ba - b farkı bir irrasyonel sayıdır.
III. a2+b2a^2 + b^2 toplamı bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. Yalnız IAnswer
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Answer

Sıfırdan farklı iki gerçel sayının toplamı irrasyonel ve çarpımı rasyonel ise, bu sayıların her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. Farkları veya kareleri toplamı rasyonel de olabilir, irrasyonel de olabilir. Dolayısıyla yalnız birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Toplamları irrasyonel, çarpımları ise rasyonel olan sıfırdan farklı iki gerçel sayının her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. Eğer biri rasyonel olsaydı, çarpımın rasyonel olması için diğeri de rasyonel olmak zorunda kalırdı; bu durumda toplamları da rasyonel olurdu ve bu durum verilen bilgiyle çelişirdi. Bu nedenle yalnız birinci öncülün yer aldığı seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci öncülün doğruluğunu çelişki yöntemiyle analiz etme.
aa ve bb sayılarından en az birinin rasyonel olduğu varsayıldığında, sıfırdan farklı rasyonel sayıların bölümü de rasyonel olacağından diğer sayı da rasyonel olur. Bu durumda toplamları da rasyonel olmak zorundadır. Ancak bu durum toplamın irrasyonel olması bilgisiyle çeliştiği için aa ve bb sayılarının her ikisi de irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalılık ve eleman özelliklerini incelemek.
2
İkinci öncül için fark ifadesini inceleme ve karşıt örnek oluşturma.
a=1+2a = 1 + \sqrt{2} ve b=−1+2b = -1 + \sqrt{2} irrasyonel sayıları seçildiğinde, a+b=22a+b = 2\sqrt{2} (irrasyonel) ve a⋅b=1a \cdot b = 1 (rasyonel) ��artları sağlanır. Ancak bu durumda a−b=(1+2)−(−1+2)=2a - b = (1+\sqrt{2}) - (-1+\sqrt{2}) = 2 olup rasyonel bir sayıdır.
İki irrasyonel sayının farkının her zaman irrasyonel olmadığını göstermek.
3
Üçüncü öncül için a2+b2a^2 + b^2 ifadesini özdeşlik yardımıyla düzenleme ve analiz etme.
a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab yazılır. abab rasyoneldir, ancak (a+b)2(a+b)^2 ifadesi her zaman rasyonel olmak zorunda değildir. Örneğin, a+b=1+2a+b = \sqrt{1+\sqrt{2}} ve ab=−1ab = -1 için a2+b2=(1+2)−2(−1)=3+2a^2+b^2 = (1+\sqrt{2}) - 2(-1) = 3+\sqrt{2} irrasyoneldir.
Kareler toplamının rasyonel olup olmadığını toplamın karesi ve çarpımın ilişkisi üzerinden sorgulamak.

Key Concept

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri

Alternative Method

Öncülleri incelerken ikinci dereceden denklemlerin kök katsayı ilişkilerinden yararlanılabilir. aa ve bb sayıları, x2−(a+b)x+ab=0x^2 - (a+b)x + ab = 0 denkleminin kökleridir. T=a+bT = a+b (irrasyonel) ve C\c=abÇ = ab (rasyonel) olmak üzere, denklemin diskriminantı Δ=T2−4C\c\Delta = T^2 - 4Ç olur. T2T^2 irrasyonel seçilebildiğinden, Δ\Delta ve dolayısıyla köklerin kareleri toplamı olan a2+b2=T2−2C\ca^2+b^2 = T^2 - 2Ç ifadesi de irrasyonel olabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic