Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

Bir laboratuvardaki üç farklı soğutucunun sıcaklık değerleri santigrat derece (°C) cinsinden sırasıyla aa, bb ve cc olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* aa sıcaklık değeri, negatif tam sayılar kümesinin bir elemanıdır.
* bb sıcaklık değeri, tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
* cc sıcaklık değeri, bir irrasyonel sayıdır.

Buna göre,

I. a⋅ba \cdot b bir pozitif rasyonel sayıdır.
II. a+ca + c bir irrasyonel sayıdır.
III. b⋅cb \cdot c bir irrasyonel sayıd��r.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız II
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

II ve III
Doğru olan ifade 'II ve III' seçeneğidir. aa rasyonel bir sayı (a∈Z⊂Qa \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}) ve cc irrasyonel bir sayı olduğu için toplamları (a+ca+c) her zaman irrasyoneldir. bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğundan sıfıra eşit olamaz (b≠0b \neq 0). Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı (b⋅cb \cdot c) da her zaman irrasyoneldir. Birinci öncüldeki a⋅ba \cdot b ifadesi rasyonel olsa da bb pozitif seçildiğinde negatif çıkabileceğinden her zaman pozitif değildir.

Step-by-Step Solution

1
aa, bb ve cc sayılarının ait oldukları sayı kümelerini ve özelliklerini belirleyelim.
aa negatif tam sayı (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-), bb tam sayı olmayan rasyonel sayı (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve b≠0b \neq 0) ve cc irrasyonel sayı (c∈Q′c \in \mathbb{Q}') olarak tanımlanır.
Öncülleri doğru bir şekilde değerlendirebilmek için sayıların hangi kümelere ait olduğunu netleştirmemiz gerekir.
2
I. öncülü (a⋅ba \cdot b bir pozitif rasyonel sayıdır) inceleyelim.
aa tam sayı (dolayısıyla rasyonel) ve bb rasyonel olduğundan, çarpımları olan a⋅ba \cdot b rasyoneldir. Ancak, aa negatif iken bb sayısı pozitif seçilirse (örneğin b=1,5=32b = 1,5 = \frac{3}{2}), çarpım sonucu negatif bir rasyonel sayı (a⋅b=−3a \cdot b = -3) çıkar. Bu durumda çarpım her zaman pozitif değildir.
Çarpımın pozitiflik özelliğini test etmek için sayıların işaret olasılıklarını değerlendiririz.
3
II. öncülü (a+ca + c bir irrasyonel sayıdır) inceleyelim.
aa rasyonel bir sayı ve cc irrasyonel bir sayı olduğundan, bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. (Eğer rasyonel olsaydı, a+c=r∈Q⇒c=r−a∈Qa + c = r \in \mathbb{Q} \Rightarrow c = r - a \in \mathbb{Q} olurdu ki bu cc'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.) Bu nedenle II. öncül her zaman doğrudur.
Rasyonel sayıların kapalılık özelliğinden faydalanarak toplamın karakterini belirleriz.
4
III. öncülü (b⋅cb \cdot c bir irrasyonel sayıdır) inceleyelim.
bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğu için 00 olamaz (b≠0b \neq 0). Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. (Eğer çarpım rasyonel olsaydı, yani b⋅c=r∈Qb \cdot c = r \in \mathbb{Q} olsaydı, b≠0b \neq 0 olduğundan c=rb∈Qc = \frac{r}{b} \in \mathbb{Q} çelişkisi doğardı.) Bu nedenle III. öncül her zaman doğrudur.
Sıfırdan farklı rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların çarpımının özelliğini rasyonel sayılar kümesindeki bölme işleminin kapalılığıyla ispatlarız.

Key Concept

Sayı kümeleri ve bu kümeler arasındaki toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarının küme üyelikleri.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic