Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçel sayısının sıfıra olan uzaklığı, bu sayının 22 katının 66 eksiğinden küçüktür.

Buna göre, xx sayısının alabileceği değerlerin en geniş aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (2,∞)(2, \infty)
  2. (6,∞)(6, \infty)Answer
  3. C
    (2,6)(2, 6)
  4. D
    [6,∞)[6, \infty)
  5. E
    (−∞,2)(-\infty, 2)

Answer

x sayısının alabileceği en geniş değer aralığı (6, sonsuz) aralığıdır.
Verilen sözel ifade matematiksel olarak ∣x∣<2x−6|x| < 2x - 6 eşitsizliğine karşılık gelir. Mutlak değer negatif olamayacağı için öncelikle 2x−6>0⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3 koşulu aranmalıdır. Ardından eşitsizlik −2x+6<x<2x−6-2x + 6 < x < 2x - 6 biçiminde açılır. Bu sistem çözüldüğünde x>2x > 2 ve x>6x > 6 elde edilir. Tüm koşulların (x>3x > 3, x>2x > 2 ve x>6x > 6) kesişimi alındığında en geniş çözüm aralığı (6,∞)(6, \infty) olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusunda bir xx sayısının sıfıra olan uzaklığı ∣x∣|x| olarak ifade edilir. Soruda verilen durumu matematiksel eşitsizliğe dönüştürelim.
∣x∣<2x−6|x| < 2x - 6 eşitsizliği elde edilir.
Sıfıra olan uzaklık mutlak değer tanımıdır ve bu değer 2x−62x - 6 ifadesinden küçük olarak verilmiştir.
2
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu her zaman sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Bu nedenle eşitsizliğin sağ tarafındaki ifadenin pozitif olması koşulunu belirleyelim.
2x−6>0⇒2x>6⇒x>32x - 6 > 0 \Rightarrow 2x > 6 \Rightarrow x > 3 k��sıtı bulunur.
Mutlak değer negatif bir sayıdan küçük olamayacağı için, sağ tarafın kesinlikle pozitif olması gerekir.
3
∣x∣<a|x| < a formundaki eşitsizliklerin çözüm kuralını (−a<x<a-a < x < a) uygulayarak eşitsizlik sistemini yazalım.
−(2x−6)<x<2x−6-(2x - 6) < x < 2x - 6 yani −2x+6<x-2x + 6 < x ve x<2x−6x < 2x - 6 eşitsizlikleri elde edilir.
Mutlak değerli eşitsizlikleri çözmek için ifadeyi mutlak değer dışına sınır aralıkları kullanarak çıkarırız.
4
Elde edilen iki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim.
Birinci eşitsizlik: −2x+6<x⇒6<3x⇒x>2-2x + 6 < x \Rightarrow 6 < 3x \Rightarrow x > 2.
İkinci eşitsizlik: x<2x−6⇒6<x⇒x>6x < 2x - 6 \Rightarrow 6 < x \Rightarrow x > 6.
Her bir eşitsizlik sınırı bize xx için farklı alt limitler sağlayacaktır.
5
Bulunan tüm koşulların (x>3x > 3, x>2x > 2 ve x>6x > 6) kesişimini alarak en geniş çözüm aralığını belirleyelim.
x>6x > 6 yani (6,∞)(6, \infty) aralığı elde edilir.
Bir gerçel sayının her üç koşulu da aynı anda sağlaması için bu koşulların en daraltılmış olan sınırını (x>6x > 6) aşması gerekir.

Key Concept

Mutlak değerli eşitsizliklerin özellikleri ve değişken içeren ifadelerle çözümü
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic