Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler

Bir un fabrikasında dolumu yapılan çuvalların ağırlıkları denetlenmektedir. Teknik bir hata sebebiyle, dolumu yapılan bir çuvalın kilogram cinsinden gerçek ağırlığı olan xx gerçel sayısının, 4646 ve 5454 sayılarına olan uzaklıkları toplamının en fazla 1212 olduğu belirlenmiştir.

Buna göre, bu çuvalın ağırlığının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Answer: 13

Answer

Eşitsizliği sağlayan 1313 farklı tam sayı değeri vardır.
Sayı doğrusunda bir sayının iki farklı noktaya olan uzaklıkları toplamı mutlak değerler toplamı ile ifade edilir. Kritik noktalar olan 4646 ve 5454 değerlerine göre yapılan üç aşamalı aralık incelemesinde, xx sayısının [44,56][44, 56] kapalı aralığında yer alması gerektiği görülür. Bu aralıktaki tam sayılar terim sayısı formülü (56−44+156 - 44 + 1) ile hesaplandığında 1313 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli eşitsizlik formuna dönüştürmek.
∣x−46∣+∣x−54∣≤12|x - 46| + |x - 54| \le 12 eşitsizliği elde edilir.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının aa ve bb sayılarına uzaklıkları toplamı ∣x−a∣+∣x−b∣|x - a| + |x - b| şeklinde gösterilir.
2
Eşitsizliğin kritik noktalarını belirleyip farklı aralıklar için çözüm kümesini bulmak.
x<46x < 46 için x≥44x \ge 44 olur, yani [44,46)[44, 46) aralığı elde edilir. 46≤x≤5446 \le x \le 54 için 8≤128 \le 12 elde edilir ki bu aralıktaki tüm sayılar eşitsizliği sağlar. x>54x > 54 için x≤56x \le 56 elde edilir, yani (54,56](54, 56] aralığı bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaretleri kritik noktalara (4646 ve 5454) göre değiştiği için analiz bu aralıklar üzerinden yapılır.
3
Aralıkları birleştirerek çözüm kümesini yazmak ve tam sayı adedini hesaplamak.
Çözüm kümesi [44,56][44, 56] aralığıdır. Bu aralıkta 56−44+1=1356 - 44 + 1 = 13 farklı tam sayı değeri vardır.
Bulunan tüm alt çözüm aralıklarının birleşimi genel çözüm kümesini verir.

Key Concept

İki mutlak değerli ifadenin toplamını içeren eşitsizliklerin kritik noktalara göre aralık analizi yapılarak çözülmesi.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic