Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Kümeleri

xx, yy ve zz birbirinden farklı sayılar olmak üzere, bu sayılar hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* x∈Z−x \in \mathbb{Z}^-
* y∈Q+∖Zy \in \mathbb{Q}^+ \setminus \mathbb{Z}
* z∈R∖Qz \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ve z=5z = \sqrt{5}
* x+y+z=−3.75+5x + y + z = -3.75 + \sqrt{5}

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?

  1. A
    114\frac{11}{4}
  2. B
    94\frac{9}{4}
  3. -1Answer
  4. D
    0
  5. E
    −254-\frac{25}{4}

Answer

−1-1
Verilen eşitlikten z=5z = \sqrt{5} değeri çıkarıldığında x+y=−3.75x + y = -3.75 ilişkisi elde edilir. xx sayısının en büyük negatif tam sayı değeri olan −1,−2,−3-1, -2, -3 değerleri için yy sayısı sırasıyla −2.75,−1.75,−0.75-2.75, -1.75, -0.75 negatif değerlerini alır. Ancak yy sayısının pozitif olması gerektiğinden bu durumlar elenir. y>0y > 0 koşulunu sağlayan ilk değer x=−4x = -4 olup, bu durumda y=0.25y = 0.25 pozitif rasyonel sayısı elde edilir. Bu iki değerin çarpımı da −1-1 olur. xx değeri daha da küçüldükçe (x=−5,−6,…x = -5, -6, \dots) elde edilen çarpımlar gittikçe küçüleceğinden, en büyük çarpım değeri −1-1 olur.

Step-by-Step Solution

1
Eşitlikte verilen z=5z = \sqrt{5} değerini yerine yazarak xx ve yy arasındaki ilişkiyi bulmak.
x+y=−3.75x + y = -3.75
x+y+5=−3.75+5x + y + \sqrt{5} = -3.75 + \sqrt{5} eşitli��inde her iki taraftan 5\sqrt{5} çıkarılır.
2
Verilen küme kısıtlamalarını kullanarak xx ve yy değişkenlerinin sınırlarını belirlemek.
x≤−4x \leq -4 ve y>0y > 0
xx negatif bir tam sayı (x∈Z−x \in \mathbb{Z}^-) ve yy pozitif bir rasyonel sayı (y>0y > 0) olduğundan, y=−3.75−x>0  ⟹  x<−3.75y = -3.75 - x > 0 \implies x < -3.75 olmalıdır. Buradan xx en fazla −4-4 olabilir.
3
Olası xx tam sayı değerleri için yy değerlerini ve x⋅yx \cdot y çarpımlarını hesaplamak.
x=−4  ⟹  y=0.25  ⟹  x⋅y=−1x = -4 \implies y = 0.25 \implies x \cdot y = -1 ve x=−5  ⟹  y=1.25  ⟹  x⋅y=−6.25x = -5 \implies y = 1.25 \implies x \cdot y = -6.25
x⋅yx \cdot y çarpımının en büyük değerini bulmak için olası değerler test edilir.
4
Bulunan çarpım değerlerini karşılaştırarak en büyük olanı seçmek.
En büyük çarpım değeri −1-1 olarak bulunur.
−1>−6.25>−13.5-1 > -6.25 > -13.5 olduğundan en büyük çarpım değeri x=−4x = -4 için elde edilen −1-1 sayısıdır.

Key Concept

Sayı kümelerinin özellikleri ve elemanlarının kısıtlamalarına göre değer aralığı analizi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Kümeleri

More questions from this topic