Bir sayı doğrusu oyunu oynayan Arda, Berk ve Cenk'in başlangıçtaki konumları sıfır noktası… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir sayı doğrusu oyunu oynayan Arda, Berk ve Cenk'in başlangıçtaki konumları sıfır noktasıdır. Her biri birer kez zar atarak zarda gelen sayıya göre sağa doğru ilerlemektedir.
- Arda'nın attığı zar $a$ olup ilerlediği mesafe $a^2$ birimdir.
- Berk'in attığı zar $b$ olup ilerlediği mesafe $3b + 5$ birimdir.
- Cenk'in attığı zar $c$ olup ilerlediği mesafe $c^3 - c$ birimdir.

Oyuncuların zarda attıkları $a$ , $b$ ve $c$ sayıları ardışık pozitif tam sayılardır.
Oyuncuların sayı doğrusu üzerindeki son konumları sırasıyla $A$ , $B$ ve $C$ 'dir.
Bu konumlar hakkında aşağıdakiler bilinmektedir:
- Cenk'in konumu en geride, Arda'nın konumu ise ortadadır.
- Berk'in attığı zar sayısı, Arda'nın attığı zar sayısından büyüktür.

Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ sayılarının küçükten b��yüğe doğru sıralanışı nasıldır?

1 $c$ sayısı
2 $a$ sayısı
3 $b$ sayısı

Answer

Küçükten büyüğe doğru zarların sıralaması c, a, b şeklindedir.

Cenk'in son konumu C = c³ - c, Arda'nın son konumu A = a² ve Berk'in son konumu B = 3b + 5'tir. Verilen C < A < B eşitsizliğini ve b > a şartını sağlayan ardışık pozitif tam sayı grupları incelendiğinde, bu şartları sadece {1, 2, 3} (c=1, a=2, b=3) ve {2, 3, 4} (c=2, a=3, b=4) kümesi sağlar. Her iki durumda da c < a < b sıralaması elde edilir.

Step-by-Step Solution

Oyuncuların son konumlarını veren fonksiyonları belirleyelim.

A = a^2

B = 3b + 5

C = c^3 - c

olarak ifade edilir.

Soruda verilen kurala göre oyuncuların ilerleme mesafeleri başlangıç noktası sıfır olduğundan doğrudan son konumlarının koordinatlarını verir.

Verilen konumsal sıralama ve zar ilişkilerini analiz edelim.

Cenk en geride ve Arda ortada olduğundan

C < A < B

eşitsizliği sağlanmalıdır. Ayrıca

b > a

koşulu verilmiştir.

Soruda Cenk'in en geride (en küçük), Arda'nın ise ortada olduğu ve Berk'in zarının Arda'nınkinden büyük olduğu belirtilmiştir.

Zar sayılarının ardışık pozitif tam sayılar olduğunu kullanarak olası durumları inceleyelim.

a, b, c

ardışık pozitif tam sayılar olduğundan

\{a, b, c\} = \{k, k+1, k+2\}

şeklindedir.

b > a

olduğundan olası üç durum vardır: 1)

c < a < b

, 2)

a < c < b

, 3)

a < b < c

b > a

koşulunu sağlayan ardışık üç sayının permütasyonlarını belirlemek için.

c < a < b

durumunu (yani

c = k, a = k+1, b = k+2

) test edelim.

k = 1

için

c = 1, a = 2, b = 3 \implies C = 0, A = 4, B = 14

olup

C < A < B

sağlanır.

k = 2

için

c = 2, a = 3, b = 4 \implies C = 6, A = 9, B = 17

olup

C < A < B

sağlanır.

k \ge 3

için

C > A

olmaktadır.

Bu durumun hangi

k

değerleri için konumsal sıralamayı sağladığını bulmak için.

a < c < b

a < b < c

durumlarının eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.

Her iki durumda da en küçük zar

a

olduğundan

C = c^3 - c

değeri her zaman

A = a^2

'den büyük veya eşit olur, dolayısıyla

C < A

eşitsizliği hiçbir zaman sağlanamaz.

Diğer olası sıralamaların neden geçerli olamayacağını matematiksel olarak ispatlamak için.

Bulunan tek geçerli durumu kullanarak zar sayılarının sıralamasını belirleyelim.

Tek geçerli durum

c < a < b

olduğundan, zarların küçükten büyüğe sıralaması

c < a < b

şeklindedir.

Sorunun bizden istediği nihai sıralamaya ulaşmak için.

Key Concept

Rutin Olmayan Problemler

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic