Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Eşitsizlikler

Sayı doğrusu üzerinde −2-2 noktasına olan uzaklığı en az 44 birim, 33 noktasına olan uzaklığı ise 88 birimden küçük olan tüm xx gerçel sayılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (2,11)(2, 11)
  2. B
    (2,11](2, 11]
  3. [2,11)[2, 11)Answer
  4. D
    (−5,−2]∪[6,11)(-5, -2] \cup [6, 11)
  5. E
    (−11,−6]∪[2,5)(-11, -6] \cup [2, 5)

Answer

Sayı doğrusundaki koşulları sağlayan gerçel sayıların kümesi [2,11)[2, 11) yarı açık aralığıdır.
Sayı doğrusunda −2-2 noktasına uzaklığı en az 44 birim olan sayılar ∣x+2∣≥4|x + 2| \ge 4 eşitsizliğini, 33 noktasına uzaklığı 88 birimden küçük olan sayılar ise ∣x−3∣<8|x - 3| < 8 eşitsizliğini sağlar. Bu iki eşitsizliğin çözümlerinden elde edilen x≤−6x \le -6 veya x≥2x \ge 2 ile −5<x<11-5 < x < 11 aralıklarının kesişimi [2,11)[2, 11) yarı açık aralığını verir. Dolayısıyla, [2,11)[2, 11) aralığını içeren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
−2-2 noktasına olan uzaklığı en az 44 birim olan xx gerçel sayılarını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edip çözelim.
∣x−(−2)∣≥4⇒∣x+2∣≥4|x - (-2)| \ge 4 \Rightarrow |x + 2| \ge 4 olur. Buradan x+2≥4⇒x≥2x + 2 \ge 4 \Rightarrow x \ge 2 veya x+2≤−4⇒x≤−6x + 2 \le -4 \Rightarrow x \le -6 elde edilir. Bu küme (−∞,−6]∪[2,∞)(-\infty, -6] \cup [2, \infty) aralığıdır.
Bir xx sayısının aa sayısına uzaklığı ∣x−a∣|x - a| ile ifade edilir. 'En az' ifadesi sınır değerinin de dahil olduğunu belirten ≥\ge sembolünü gerektirir.
2
33 noktasına olan uzaklığı 88 birimden küçük olan xx gerçel sayılarını mutlak değerli eşitsizlik olarak ifade edip çözelim.
∣x−3∣<8|x - 3| < 8 olur. Buradan −8<x−3<8-8 < x - 3 < 8 elde edilir. Eşitsizliğin her tarafına 33 eklersek −5<x<11-5 < x < 11 bulunur. Bu küme (−5,11)(-5, 11) açık aralığıdır.
'Küçük' ifadesi sınır değerinin dahil olmadığını belirten << sembolünü gerektirir.
3
Her iki koşulu da aynı anda sağlayan xx değerlerini bulmak için iki çözüm kümesinin kesişimini alalım.
((−∞,−6]∪[2,∞))∩(−5,11)((-\infty, -6] \cup [2, \infty)) \cap (-5, 11) işlemini yaptığımızda; negatif tarafta (−∞,−6]∩(−5,11)=∅(-\infty, -6] \cap (-5, 11) = \emptyset olurken, pozitif tarafta [2,∞)∩(−5,11)=[2,11)[2, \infty) \cap (-5, 11) = [2, 11) elde edilir. Böylece çözüm kümesi [2,11)[2, 11) olur.
Soruda verilen iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiğinden elde edilen çözüm kümelerinin kesişim kümesi alınmalıdır.

Key Concept

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri ve Aralık Kesişimi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Eşitsizlikler

More questions from this topic