Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
A={x∈Z∣−1≤x≤6 ve (x bir c¸ift sayı veya x bir asal sayıdır)}∪{∅,{2}}A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -1 \le x \le 6 \text{ ve } (x \text{ bir çift sayı veya } x \text{ bir asal sayıdır})\} \cup \{\emptyset, \{2\}\}

kümesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA kümesiyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    AA kümesinin eleman sayısı 88'dir.
  2. B
    AA kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 511511'dir.
  3. {{2}}∈A\{\{\text{2}\}\} \in ACevap
  4. D
    {0,4,6}⊆A\{0, 4, 6\} \subseteq A
  5. E
    AA kümesinin elemanı olan sayılardan sadece 33 tanesi asal sayıdır.

Cevap

Küme parantezi içinde iki elemanını barındıran kümenin A kümesinin elemanı olduğunu belirten ifade yanlıştır.
Yanlış olan ifade, küme parantezi içinde iki elemanını barındıran kümenin AA kümesinin elemanı olduğunu belirten ifadedir. Çünkü {2}\{2\} ifadesi AA kümesinin bir elemanıdır ({2}∈A\{2\} \in A). Bir elemanın küme parantezine alınmasıyla elde edilen yeni küme, AA kümesinin elemanı değil, alt kümesi olur ({{2}}⊆A\{\{2\}\} \subseteq A). Dolayısıyla bu ifade matematiksel olarak yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Kümenin birinci kısmını oluşturan elemanları belirlemek için koşulu sağlayan tam sayıları listeleyelim.
−1≤x≤6-1 \le x \le 6 aralığındaki çift sayılar ve asal sayılar kümesi: {0,2,3,4,5,6}\{0, 2, 3, 4, 5, 6\} elemanlarından oluşur.
Tanımda verilen aralıkta 0,2,4,60, 2, 4, 6 çift sayılar; 2,3,52, 3, 5 ise asal sayılardır. Bu iki grubun birleşimi alınır.
2
AA kümesinin tamamını bulmak için bu sayı kümesini {∅,{2}}\{\emptyset, \{2\}\} kümesi ile birleştirelim.
A={0,2,3,4,5,6,∅,{2}}A = \{0, 2, 3, 4, 5, 6, \emptyset, \{2\}\} kümesi elde edilir. Bu kümenin eleman sayısı s(A)=8s(A) = 8 olur.
∅\emptyset ve {2}\{2\} ifadeleri birer küme olup, tamsayı olan elemanlardan farklı yeni birer eleman olarak AA kümesine eklenir.
3
Seçeneklerde verilen ifadelerin doğruluğunu tek tek kontrol edelim.
İfadelerin incelenmesi sonucu:
- Eleman sayısı 88 ifadesi doğrudur.
- Alt küme ve özalt küme sayısı toplamı 256+255=511256 + 255 = 511 ifadesi doğrudur.
- {0,4,6}⊆A\{0, 4, 6\} \subseteq A ifadesi doğrudur.
- Asal sayı olan elemanlar sadece 2,3,52, 3, 5 olmak üzere 3 tanedir, bu ifade doğrudur.
- {{2}}∈A\{\{\text{2}\}\} \in A ifadesi ise yanlıştır, çünkü {{2}}⊆A\{\{\text{2}\}\} \subseteq A olmalıdır.
Kümelerde eleman (∈\in) ve alt küme (⊆\subseteq) sembollerinin kurallarına göre bir elemanın süslü parantez içine alınmasıyla oluşan yeni küme, orijinal kümenin bir alt kümesi olur, elemanı olamaz.

Anahtar Kavram

Kümelerde Eleman, Alt Küme ve Özalt Küme Kavramları

Alternatif Yöntem

Kümenin elemanlarını belirledikten sonra, eleman sayısı bilinen bir kümenin alt küme ve özalt küme sayılarının toplamının genel formülünün 2n+1−12^{n+1} - 1 olduğu kullanılarak işlem daha hızlı yapılabilir. s(A)=8s(A) = 8 için 28+1−1=512−1=5112^{8+1} - 1 = 512 - 1 = 511 doğrudan bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru