Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
A={1,2,3,4,5,6,7}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesi veriliyor.

Buna göre, AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları toplamı bir çift sayıdır ve bu alt kümeler en az bir tek sayı eleman içerir?

  1. A
    48
  2. 56Cevap
  3. C
    60
  4. D
    64
  5. E
    72

Cevap

Elemanları toplamı çift olan ve en az bir tek sayı içeren alt küme sayısı 56 tanedir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, elemanları toplamı çift olan tüm 64 alt kümeden, hiç tek sayı içermeyen 8 alt kümenin çıkarılmasıyla (64−8=5664 - 8 = 56) elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayı elemanlarını belirleyelim.
AA kümesinde 4 adet tek sayı ({1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\}) ve 3 adet çift sayı ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) bulunmaktadır.
Soruda istenen tek sayı içerme ve toplamın çift olması koşullarını uygulayabilmek için tek ve çift elemanları ayrı ayrı sınıflandırmamız gerekir.
2
Bir alt kümenin elemanları toplamının çift sayı olma şartını belirleyelim.
Bir kümedeki sayıların toplamının çift olması için, o kümenin içerdiği tek sayıların adedi çift olmalıdır. Çift sayıların adedi toplamın çift veya tek olmasını etkilemez.
Tek sayıların çift adet toplamı her zaman çift sayı verir, çift sayıların toplamı ise adedine bakılmaksızın daima çifttir.
3
Elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısını hesaplayalım.
Çift sayıların kümesi {2,4,6}\{2, 4, 6\} olup bu sayılardan 23=82^3 = 8 farklı seçim yapılabilir. Tek say��lardan ise çift sayıda (0, 2 veya 4 tane) seçmeliyiz:
- 0 tek sayı seçimi için: (40)=1\binom{4}{0} = 1 durum
- 2 tek sayı seçimi için: (42)=6\binom{4}{2} = 6 durum
- 4 tek sayı seçimi için: (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum

Tek sayıların seçim durumlarının toplamı: 1+6+1=81 + 6 + 1 = 8 olur. ��arpım kuralı gereği, elemanları toplamı çift olan tüm alt kümelerin sayısı: 8×23=8×8=648 \times 2^3 = 8 \times 8 = 64 olarak bulunur.
Koşulsuz olarak toplamı çift olan tüm alt kümeleri bulmak için tek ve çift eleman seçimlerinin kombinasyon sayılarını çarparız.
4
Hesaplanan kümelerden 'en az bir tek sayı eleman içerme' koşuluna uymayanları çıkaralım.
Hiç tek sayı içermeyen ve elemanları toplamı çift olan alt kümeler, yalnızca çift sayılardan ({2,4,6}\{2, 4, 6\}) oluşturulan alt kümelerdir. Bu alt kümelerin sayısı 23=82^3 = 8'dir. İstenen koşullara uygun alt küme sayısı: 64−8=5664 - 8 = 56 bulunur.
Bulduğumuz tüm çift toplama sahip alt kümelerden, en az bir tek sayı içermeyen (yani sadece çift sayılardan oluşan) alt kümeleri çıkararak istenen koşulu sağlayanları belirleriz.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman özelliklerine göre alt küme oluşturma ve kombinasyon ile sayma kuralları.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru