Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDairesel ve Çark Düzenekleri

İç içe geçmiş iki dairesel diskten oluşan bir şifreleme mekanizmasında:

* Dış disk 88 eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla 1,2,3,4,5,6,7,81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sayıları ile numaralandırılmıştır.
* İç disk 66 eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F harfleriyle işaretlenmiştir.
* Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge bulunmaktadır. Başlangıçta gösterge dış diskte 11 sayısını, iç diskte ise AA harfini göstermektedir.

Her bir tıkta dış disk saat yönünde 11 bölme, iç disk ise saat yönünün tersine 11 bölme dönmektedir.

Buna göre, mekanizma çalıştırıldıktan en az kaç tık sonra gösterge aynı anda dış diskte 33 sayısını, iç diskte ise EE harfini gösterir?

  1. A
    14
  2. B
    18
  3. 22Cevap
  4. D
    10
  5. E
    26

Cevap

22
Göstergede aynı anda 3 sayısı ve E harfinin görülebilmesi için geçen tık sayısı n olsun. Dış disk saat yönünde döndüğünden göstergeye sırasıyla 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 değerleri gelir ve 3 sayısı 6. tıkta ve sonrasında her 8 tıkta bir görünür (n = 6, 14, 22, ...). İç disk saat yönünün tersine döndüğünden göstergeye sırasıyla A, B, C, D, E, F değerleri gelir ve E harfi 4. tıkta ve sonrasında her 6 tıkta bir görünür (n = 4, 10, 16, 22, ...). İki dizilimde ortak olan en küçük tık sayısı 22 olduğundan doğru cevap 22 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Dış diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki sayıların değişim kuralını belirlemek.
nn tık sayısı olmak üzere, göstergeye 33 sayısının gelmesi için n≡6(mod8)n \equiv 6 \pmod 8 olmalıdır.
Dış disk saat yönünde döndüğü için, üzerindeki sayılar gösterge hizasından saat yönünün tersi yönde (yani geriye doğru: 8, 7, 6...) geçecektir. Dolayısıyla 11'den sonra sırasıyla 8,7,6,5,4,38, 7, 6, 5, 4, 3 değerleri gelir ve ilk olarak 66. tıkta göstergeye 33 ulaşır. Bu durum her 88 tıkta bir tekrarlanır.
2
İç diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki harflerin değişim kuralını belirlemek.
nn tık sayısı olmak üzere, göstergeye EE harfinin gelmesi için n≡4(mod6)n \equiv 4 \pmod 6 olmalıdır.
İç disk saat yönünün tersine döndüğü için, üzerindeki harfler gösterge hizasından saat yönünde (yani ileriye doğru: B, C, D, E...) geçecektir. Dolayısıyla AA'dan sonra sırasıyla B,C,D,EB, C, D, E harfleri gelir ve ilk olarak 44. tıkta göstergeye EE ulaşır. Bu durum her 66 tıkta bir tekrarlanır.
3
Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif nn tam sayısını bulmak.
n=22n = 22
n≡6(mod8)n \equiv 6 \pmod 8 koşulunu sağlayan nn değerleri 6,14,22,30...6, 14, 22, 30... şeklindedir. Bu değerlerden 6(mod6)6 \pmod 6 özelliğine bakıldığında, 22≡4(mod6)22 \equiv 4 \pmod 6 koşulunu sağlayan en küçük değerin 2222 olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Dairesel düzeneklerde bağıl dönme yönleri ve periyodik durumların modüler aritmetik ile çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Dairesel ve Çark Düzenekleri

Bu konudan daha fazla soru