Sayı ve Şekil Bağıntıları Alıştırma Soruları — ALES

Aşağıdaki matriste satırlardaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir:

I. Sütun	II. Sütun	III. Sütun
3	5	16
4	7	33
5	9	$x$

Buna göre, matristeki örüntü takip edildiğinde $x$ yerine hangi sayı gelmelidir?

28

41

42

49

56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $56$

Cevap

56

sayısı doğru cevaptır.

Doğru seçenekteki

56

değeri, her satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamının, ilk sütundaki sayının bir eksiğiyle çarpılması sonucu elde edilir. Üçüncü satırda ilk iki sütundaki sayıların toplamı

5 + 9 = 14

'tür. Bu toplam, ilk sütundaki

5

sayısının bir eksiği olan

4

ile çarpıldığında

14 \times 4 = 56

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Matrisin ilk satırındaki sayılar arasındaki ilişkiyi incelemek.

3

ve

5

sayılarından

16

elde edilmiştir. Bu ilişki

(3 + 5) \times 2 = 16

veya genel haliyle

(\text{I. Sütun} + \text{II. Sütun}) \times (\text{I. Sütun} - 1) = \text{III. Sütun}

olarak kurulabilir.

Örüntünün temel kuralını bulmak için ilk satırı analiz etmek gerekir.

2

Bulunan kuralı ikinci satırda test etmek.

4

ve

7

sayılarından

33

elde edilmiştir. Kural uygulandığında:

(4 + 7) \times (4 - 1) = 11 \times 3 = 33

olur ve kural doğrulanır.

Bulunan kuralın tüm satırlar için geçerli olup olmadığını teyit etmek gerekir. Bu adımda çarpanın ilk sütundaki sayının

1

eksiği olduğu kesinleşir.

3

Aynı kuralı üçüncü satıra uygulayarak

x

değerini hesaplamak.

5

ve

9

sayılarından

x

elde edilecektir. Kurala göre:

x = (5 + 9) \times (5 - 1) = 14 \times 4 = 56

bulunur.

Örüntü kuralını son satıra uygulayarak bilinmeyen

x

değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Matris Örüntülerinde Satır ve Sütun İlişkileri

Soru 2Soru →

Yarıçapı $3r$ olan $K$ çarkı ile yarıçapı $2r$ olan $L$ çarkı birbirine temas edecek şekilde yerleştirilmiştir. Bu çarklarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* $K$ çarkının üzerinde eşit aralıklarla $1$ 'den $12$ 'ye kadar sayılar saat yönünde ardışık olarak yazılmıştır.
* $L$ çarkının üzerinde ise eşit aralıklarla $1$ 'den $8$ 'e kadar sayılar saat yönünün tersi yönde ardışık olarak yazılmıştır.
* Her iki çarkın da en üst noktasında sabit birer gösterge (ibre) bulunmaktadır ve başlangıçta her iki gösterge de kendi çarkındaki $1$ sayısını göstermektedir.

Buna göre, $K$ çarkı saat yönünde $2,5$ tur döndürüldüğünde, $L$ çarkının göstergesi hangi sayıyı gösterir?

1

3

5

6

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

L çarkının göstergesi 3 sayısını gösterir.

K çarkı saat yönünde

2,5

tur döndüğünde, temas eden L çarkı saat yönünün tersine döner. L çarkının yarıçapı

2r

olduğundan, tur sayısı

2,5 \times (3/2) = 3,75

tur olur. L çarkı 8 bölmeli olduğundan, toplamda

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerler.

30 \equiv 6 \pmod 8

olduğundan, göstergenin altından geçen sayılar başlangıçtaki 1 değerinden itibaren saat yönünün tersi dönme hareketiyle azalan sırada (

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3

) ilerler ve 6. adımda 3 sayısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Çarkların birbirine temas ettiği durumlarda dönme yönlerini belirleme.

K çarkı saat yönünde döndürüldüğünde, onunla temas halinde olan L çarkı saat yönünün tersi yönde dönecektir.

Temas halindeki dişli çarklar birbirini zıt yönde döndürür.

2

Çarkların yarıçapları ile tur sayıları arasındaki ters orantıyı kullanarak L çarkının kaç tur döneceğini hesaplama.

N_K \times r_K = N_L \times r_L

ilişkisinden,

2,5 \times 3r = N_L \times 2r \implies N_L = 3,75

tur elde edilir.

Çarkların yarıçapları (veya diş sayıları) ile dönme tur sayıları ters orantılıdır.

3

L çarkının üzerindeki bölmelerin hareket miktarını bulma.

L çarkı 8 bölmeye ayrılmıştır. 3,75 tur döndüğünde toplam

3,75 \times 8 = 30

bölme ilerlemiş olur. (Alternatif olarak: K çarkında

2,5 \times 12 = 30

bölme ilerlendiği için, temas noktasından aynı sayıda bölme geçeceğinden L çarkında da 30 bölme ilerlenir).

Çarklar üzerindeki bölmelerin (dişlerin) eşit uzunlukta olduğu varsayımıyla, temas noktasından geçen bölme sayısı iki çark için de eşittir.

4

30 bölme ilerleme sonrasında göstergenin işaret edeceği sayıyı modüler aritmetik kullanarak bulma.

30 \equiv 6 \pmod 8

olur. L çarkının üzerindeki sayılar saat yönünün tersine dizilmiştir (1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2). Çark saat yönünün tersine döndüğünde, sabit göstergenin altından sırasıyla

1 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \dots

sayıları geçecektir. Başlangıçta 1'de olan ibre 6 adım ilerlediğinde 3 sayısını gösterir.

L çarkı saat yönünün tersine döndüğünde sayılar saat yönünde ilerliyormuş gibi göstergenin altından geçer ve her 8 bölmede bir başlangıç durumuna dönülür.

Anahtar Kavram

Temas halindeki dairesel çarklarda yarıçap-tur sayısı ilişkisi ve dönme yönüne bağlı olarak çevresel bölmelerin modüler hareketi.

Soru 3Soru →

Bir düzgün $n$ -genin içine yazılan bir $x$ tam sayısı için $[x]_n$ sembolüyle gösterilen bir işlem tanımlanıyor. Bu işlem,
- $x$ bir çift sayı ise: $[x]_n = n \cdot x - (n-1)$
- $x$ bir tek sayı ise: $[x]_n = (n-1) \cdot x + n$
olarak belirlenmiştir.

Örnekler:
- Üçgenin içindeki $4$ sayısı: $[4]_3 = 3 \cdot 4 - (3-1) = 10$
- Karenin içindeki $5$ sayısı: $[5]_4 = (4-1) \cdot 5 + 4 = 19$

Buna göre, bir üçgenin içinde bir kare ve bu karenin içinde $A$ sayısı bulunacak şekilde iç içe yerleştirilmiş şeklin değeri ile bir düzgün beşgenin içine yazılmış $A$ sayısının değerinin toplamı $46$ olduğuna göre, $A$ pozitif tam sayısı kaçtır?

2

3

4

5

6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Değeri 3 olan seçenektir.

Doğru cevap olan 3 tek sayısı için işlemler sırasıyla uygulandığında: Karenin içindeki 3 sayısı için

[3]_4 = (4-1) \cdot 3 + 4 = 13

elde edilir. 13 tek sayı olduğu için üçgenin içindeki 13 sayısı için

[13]_3 = (3-1) \cdot 13 + 3 = 29

bulunur. Beşgenin içindeki 3 sayısı için ise

[3]_5 = (5-1) \cdot 3 + 5 = 17

elde edilir. Bu iki değer toplandığında

29 + 17 = 46

eşitliği sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1

A'nın teklik-çiftlik durumuna göre karenin içindeki işlem olan

[A]_4

ifadesinin alabileceği değerleri belirleme.

Eğer

A

çift ise

[A]_4 = 4A - 3

olur. Eğer

A

tek ise

[A]_4 = 3A + 4

olur.

Karenin kenar sayısı

n=4

olduğundan, tanımlanan kurallara göre

A

'nın paritesine uygun formül seçilir.

2

[A]_4

ifadesinin sonucunun teklik-çiftlik durumunu analiz etme.

A

çift olduğunda

4A - 3

tektir.

A

tek olduğunda

3A + 4

tektir. Dolayısıyla her iki durumda da

[A]_4

kesinlikle bir tek sayıdır.

Bir sonraki adımda dıştaki üçgen (

n=3

) işlemini uygulayabilmek için içerideki değerin tek mi çift mi olduğunu bilmemiz gerekir.

3

[ [A]_4 ]_3

ifadesini tek sayı kuralına göre açma.

[ [A]_4 ]_3 = (3-1) \cdot [A]_4 + 3 = 2 \cdot [A]_4 + 3

olur.

[A]_4

sonucu her durumda tek sayı çıktığı için, üçgen (

n=3

) sembolünün kuralındaki tek sayı formülü uygulanır.

4

Denklemi

A

'nın teklik-çiftlik durumlarına göre iki ayrı vaka olarak inceleme ve çözme.

Durum 1:

A

çift olsun.

[A]_4 = 4A-3 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(4A-3)+3 = 8A-3

olur. Beşgen (

n=5

) için çift sayı kuralıyla

[A]_5 = 5A-4

olur. Toplam:

(8A-3) + (5A-4) = 13A - 7 = 46 \implies 13A = 53

(tam sayı çözümü yoktur). Durum 2:

A

tek olsun.

[A]_4 = 3A+4 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(3A+4)+3 = 6A+11

olur. Beşgen (

n=5

) için tek sayı kuralıyla

[A]_5 = 4A+5

olur. Toplam:

(6A+11) + (4A+5) = 10A + 16 = 46 \implies 10A = 30 \implies A = 3

olur.

3

tek sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Her iki durumu da analiz ederek matematiksel olarak tutarlı ve tam sayı olan tek çözüme ulaşmak gerekir.

Anahtar Kavram

Şekil ile Tanımlanmış Operatörler ve Parite Koşullu İşlemler

İpuçları

1

İç içe geçmiş geometrik şekillerde işlemleri yapmaya en içteki şekilden (kareden) başlayın.

2

A

sayısının tek mi çift mi olduğunu bilmediğiniz için her iki olasılığı da ayrı ayrı değerlendirmeniz gerekir. Ancak en içteki işlemin sonucu (

[A]_4

) her iki durumda da tek sayı çıkacaktır.

3

A

sayısının tek olduğunu varsayarak kare (

n=4

) kuralını uygulayın. Çıkan tek sayı sonucuna üçgen (

n=3

) kuralını ve beşgen (

n=5

) için tek olan

A

'ya tek kuralını uygulayıp denklemi

10A + 16 = 46

olarak kurun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üç nested şekilden oluşan ve parite yerine 3 ile bölümünden kalan kurallarına dayanan operatör sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Denklemi teorik olarak çözmek yerine seçeneklerdeki değerleri (2, 3, 4, 5, 6) doğrudan denklemde yerine koyup parite kurallarına dikkat ederek test edebilirsiniz.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 4Soru →

Bir sırada yan yana yerleştirilen düzgün beşgenlerden oluşan bir örüntü tasarlanmıştır. Bu örüntüde ilk beşgenin ardından eklenen her beşgen, bir önceki be��gen ile yalnızca bir kenarını ortak kullanacak şekilde yerleştirilmektedir. Örnek olarak, yan yana yerleştirilen $2$ beşgenin oluşturduğu şeklin toplam $9$ kenarı vardır. Buna göre, yan yana yerleştirilmiş $8$ düzgün beşgenden oluşan bir figürün toplam kenar sayısı kaçtır?

32

34

33

35

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $33$

Cevap

Toplam kenar sayısı

33

olarak bulunur.

Doğrulanan örüntü kuralına göre,

n

adet yan yana duran düzgün beşgen için toplam kenar sayısı

4n + 1

formülüyle hesaplanır. Bu formülde

n = 8

yazıldığında

4 \times 8 + 1 = 33

kenar elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Örüntünün kuralını belirlemek için ilk adımları inceleyelim.

1

beşgen için

5

kenar vardır.

2

beşgen yan yana geldiğinde

1

kenar ortak kullanılır ve toplam kenar sayısı

5 + 5 - 1 = 9

olur.

Ortak kullanılan kenar, iki kez sayılmak yerine tek bir kenar olarak hesaba katılır.

2

Genel bir örüntü kuralı (

n

adet beşgen için) elde edelim.

n

tane beşgen yan yana dizildiğinde aralarında

n - 1

tane ortak kenar (bağlantı noktası) oluşur. Toplam kenar sayısı:

5n - (n - 1) = 4n + 1

formülü ile bulunur.

Her yeni eklenen beşgen, şekle

4

yeni dış kenar kazandırır.

3

Formülde

n = 8

değerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.

4 \times 8 + 1 = 33

kenar bulunur.

Örüntü kuralını sekiz beşgen içeren şekle uygulamak için.

Anahtar Kavram

Çokgenlerin kenar paylaşımıyla oluşturduğu doğrusal örüntülerde kenar sayısını hesaplama.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 5Soru →

Aşağıdaki matriste satırlardaki sayılar soldan sağa doğru belirli bir kurala göre dizilmiştir.

I. Sütun	II. Sütun	III. Sütun
7	3	61
5	4	29
8	2	?

Buna göre, soru işareti (?) yerine hangi sayı gelmelidir?

80

84

76

60

13

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 76

Cevap

Soru işareti yerine gelmesi gereken sayı

76

olmalıdır.

Doğru seçenekteki sayı olan

76

, matrisin her satırında uygulanan

(A^2 - B^2) + (A \times B) = C

kuralını tam olarak sağlamaktadır. Üçüncü satırdaki

8

ve

2

sayıları için bu işlem uygulandığında

(8^2 - 2^2) + (8 \times 2) = (64 - 4) + 16 = 60 + 16 = 76

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci satırdaki örüntüyü inceleyin. İlk iki sayı

7

ve

3

, üçüncü sayı ise

61

'dir. Bu sayılar arasındaki ilişkiyi bulmak için birinci sayının karesinden ikinci sayının karesini çıkarıp, sonuca bu iki sayının çarpımını ekleyin.

7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40

ve

7 \times 3 = 21

olup,

40 + 21 = 61

elde edilir. Bu durum kuralı doğrular.

Matrisin satırları arasındaki genel matematiksel kuralı tespit etmek.

2

Bulunan kuralı ikinci satırda test edin. İkinci satırdaki ilk iki sayı

5

ve

4

, üçüncü sayı ise

29

'dur. Aynı işlemi bu sayılara uygulayın.

5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9

ve

5 \times 4 = 20

olup,

9 + 20 = 29

elde edilir. Kuralın ikinci satırda da geçerli olduğu görülür.

Tespit edilen kuralın matris genelinde tutarlı olduğunu doğrulamak.

3

Aynı kuralı üçüncü satırdaki

8

ve

2

sayılarına uygulayarak soru işareti yerine gelmesi gereken değeri hesaplayın.

(8^2 - 2^2) + (8 \times 2) = (64 - 4) + 16 = 60 + 16 = 76

bulunur.

Soru işaretinin değerini bulmak.

Anahtar Kavram

Matris satırlarındaki elemanlar arasında çok adımlı cebirsel ilişkiler kurarak örüntü kuralını belirleme ve bilinmeyen elemanı bulma.

Soru 6Soru →

Aşağıdaki matriste sayılar belirli bir kurala göre yerleştirilmiştir.

I. Sütun	II. Sütun	III. Sütun
4	7	9
5	12	13
6	15	?

Buna göre, soru işareti (?) yerine aşağıdaki sayılardan hangisi gelmelidir?

17

23

21

25

68

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Soru işareti yerine 21 sayısı gelmelidir.

Matristeki her satırda, en soldaki sayının karesi alındıktan sonra ortadaki sayı çıkarıldığında en sağdaki sayı elde edilmektedir. Üçüncü satıra bu kuralı uyguladığımızda, 6'nın karesi olan 36'dan 15 çıkarılır ve doğru değer olan 21 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Matristeki satırlar arasındaki ilişkiyi analiz edin.

Her satırda birinci sayı (

x

), ikinci sayı (

y

) ve üçüncü sayı (

z

) arasında

z = x^2 - y

ilişkisi olduğu görülür.

Örüntünün temel matematiksel kuralını tespit etmek için.

2

Bulunan kuralı birinci ve ikinci satırlar üzerinde test edin.

1. Satır:

4^2 - 7 = 16 - 7 = 9

. 2. Satır:

5^2 - 12 = 25 - 12 = 13

. Kural her iki satır için de doğrulanır.

Kuralın matrisin tamamında geçerli olduğundan emin olmak için.

3

Aynı kuralı üçüncü satıra uygulayarak soru işaretini bulun.

3. Satır:

6^2 - 15 = 36 - 15 = 21

bulunur.

Bilinmeyen hücre değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Matris örüntülerinde satır içi elemanlar arasındaki üstel ve aritmetik ilişkilerin belirlenmesi.

Soru 7Soru →

$3$ ’ün katı olan ardışık pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak ve her satırda satır numarası kadar sayı bulunacak şekilde aşağıdaki piramit düzeninde yerleştiriliyor.

\begin{matrix} & & 3 & & \\ & 6 & & 9 & \\ 12 & & 15 & & 18 \end{matrix}

Buna göre, bu sayı piramidinin $10$ . satırında yer alan en büyük sayı kaçtır?

135

138

300

165

198

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 165

Cevap

Piramidin 10. satırındaki en büyük sayı 165'tir.

10. satıra kadar olan tüm satırlardaki toplam terim sayısı

1+2+3+...+10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

adettir. Sayılar 3'ün katı olan ardışık sayılar şeklinde ilerlediğinden,

n

. terim

3n

formülüyle bulunur. Dolayısıyla, 10. satırdaki en büyük sayı, piramitteki 55. sayı olacaktır. Bu sayı da

3 \times 55 = 165

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Piramitteki satırların terim sayılarını inceleyerek 10. satırın sonuna kadar toplam kaç sayı yazıldığını bulma.

1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı vardır. Toplam sayı adedi:

1 + 2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55

adettir.

10. satırın en büyük sayısı bu satırın en sağındaki sayıdır. Bu sayı da piramidin başlangıcından itibaren yazılan 55. sayıya karşılık gelir.

2

Kullanılan sayı dizisinin genel terimini belirleme.

Dizi

3, 6, 9, 12, \dots

şeklinde 3'ün katı olan sayılardan oluşur. Genel terim

a_n = 3n

şeklindedir.

Her bir terimin değerini, sırasına göre hesaplayabilmek için dizinin kuralını formülleştirmek gerekir.

3

55. terimin değerini hesaplama.

a_{55} = 3 \times 55 = 165

.

10. satırın en büyük elemanı olan 55. sayının sayısal değerini bulmak için genel terim formülünde

n = 55

yazılır.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır numarası ile terim sayısı arasındaki ilişkiyi kurarak belirli bir adımdaki terimi bulma.

İpuçları

1

10. satırın sonuna kadar piramit içerisine toplam kaç adet sayı yazıldığını bulmaya çalışın.

2

1. satırda 1, 2. satırda 2, ..., 10. satırda 10 sayı bulunduğundan, 10. satırın en büyük (yani son) sayısı, yazılan 55. sayı olacaktır.

3

Piramitteki sayılar 3, 6, 9, 12... şeklinde 3'ün katları olarak ilerlemektedir. 55. sayıyı bulmak için genel kuralı

3n

olarak kullanıp

n=55

değerini hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, 3'ün katı yerine 4'ün katı sayılarla oluşturulan bir piramitte aynı satırdaki sayıların toplamını bulmayı deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Piramidin her satırının en büyük sayısı sırasıyla: 3, 9, 18, 30... şeklindedir. Bu sayı dizisinin ardışık terimleri arasındaki farklar sırasıyla 6, 9, 12... olarak artmaktadır. 1. satırın en büyük sayısı 3 ise, 10. satırın en büyük sayısını bulmak için 3'ün üzerine bu farkları ekleyebiliriz:

3 + (6 + 9 + 12 + \dots + 30) = 3 + 3 \times (2 + 3 + 4 + \dots + 10) = 3 + 3 \times 54 = 165

elde edilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 8Soru →

Birim karelerden oluşan bir tel örgü panelinde, yatayda $4$ adet ve dikeyde $5$ adet birim kare yan yana getirilerek büyük bir dikdörtgen oluşturulmuştur. Bu tel örgünün tüm birim karelerinin köşe noktalarında (kesişim yerlerinde) birer bağlantı vidası bulunmaktadır. Buna göre, bu tel örgü panelinde toplam kaç adet bağlantı vidası vardır?

18

20

24

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Toplam bağlantı vidası sayısı 30'dur.

Izgaradaki yatayda yatan

4

birim kareyi sınırlandıran

5

adet dikey doğru, dikeyde yatan

5

birim kareyi sınırlandıran ise

6

adet yatay doğru vardır. Bu doğruların kesişim yerleri tel örgünün tüm köşe noktalarını verir. Dolayısıyla toplam bağlantı vidası sayısı

5 \times 6 = 30

'dur.

Adım Adım Çözüm

1

Yatay ve dikey doğruların sayısını belirlemek

Yatayda

4

birim kare oluşturmak için

5

adet dikey doğruya; dikeyde

5

birim kare oluşturmak için

6

adet yatay doğruya ihtiyaç vardır.

Birim karelerin köşe noktaları, bu yatay ve dikey doğruların kesişim noktalarıdır.

2

Doğruların kesişim noktalarının toplam sayısını çarparak hesaplamak

5 \times 6 = 30

kesişim noktası (bağlantı vidası) elde edilir.

M

adet dikey doğru ile

N

adet yatay doğrunun kesişim noktası sayısı

M \times N

formülüyle bulunur.

Anahtar Kavram

Dikdörtgen ızgara sistemlerinde çizgi sayısı ile köşe/kesişim noktası sayısı arasındaki ilişki

İpuçları

1

Bir dikdörtgen ızgarada yan yana duran karelerin köşe noktalarını bulurken yatay ve dikey çizgi sayılarını belirleyin.

2

Yatayda

4

kare oluşturmak için yan yana

5

adet dikey çizgi çekilmelidir. Benzer şekilde dikeyde

5

kare için kaç çizgi çekileceğini düşünün.

3

Yatayda

5

dikey doğru, dikeyde ise

6

yatay doğru bulunur. Bu doğruların kesişim sayısı toplam vida sayısına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Yatayda

6

, dikeyde

8

birim kareden oluşan bir ızgara panelindeki toplam köşe noktası sayısını bularak kendinizi test edebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, en dıştaki köşeleri ve içteki noktaları ayrı ayrı sayabilirsiniz: Dış çevre üzerinde

2 \times (4 + 5) = 18

adet nokta vardır. İç bölgede ise

3 \times 4 = 12

adet nokta yer alır. Toplamda

18 + 12 = 30

bağlantı noktası elde edilir.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Düzgün sekizgen şeklinde masalar yan yana birleştirilerek tek bir büyük masa elde edilmek isteniyor. Her bir masa, yanındaki masa ile tam olarak bir kenarı çakışacak şekilde yan yana diziliyor. 1 masa yerleştirildiğinde etrafına 8 sandalye (her boş kenara 1 sandalye) konulabiliyor. 2 masa yan yana birleştirildiğinde ortak olan kenara sandalye konulamadığı için toplam 14 sandalye konulabiliyor. Buna göre, yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla kaç sandalye konulabilir?

48

43

38

36

40

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Yan yana birleştirilen 6 düzgün sekizgen masanın etrafına en fazla 38 sandalye konulabilir.

Doğru cevap olan 38 değeri, örüntünün doğrusal artış kuralına dayanmaktadır. İlk masanın 8 sandalyesine ek olarak eklenen her yeni masa 6 sandalye getirmektedir. 6 masa için başlangıç masasının üzerine 5 masa eklenmiş olur. Buradan toplam sandalye sayısı

8 + 5 \times 6 = 38

olarak hesaplanır. Alternatif olarak, 6 masanın toplam 48 kenarından, 5 birleşme noktasındaki çakışan

5 \times 2 = 10

kenar çıkarılarak da

48 - 10 = 38

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örüntünün başlangıç adımlarındaki sandalye sayıları arasındaki ilişkiyi inceleme.

1 masa için 8 sandalye, 2 masa için 14 sandalye gerekmektedir.

Masa sayısı arttıkça sandalye sayısının nasıl değiştiğini belirlemek için ilk adımlar analiz edilir.

2

Her adımda eklenen yeni masa ile gelen sandalye artış miktarını hesaplama.

Artış miktarı:

14 - 8 = 6

sandalyedir.

Eklenen her yeni masa bir öncekiyle ortak bir kenara sahip olduğundan, iki masadan da birer kenar (toplamda 2 kenar) iç bölgede kalır ve sandalye konulamaz. Böylece her yeni masa örüntüye

8 - 2 = 6

yeni sandalye kazandırır.

3

Masa sayısına bağlı toplam sandalye sayısını veren genel kuralı formüle etme.

n

tane masa için toplam sandalye sayısı formülü:

S(n) = 8 + 6 \times (n - 1) = 6n + 2

olarak bulunur.

İlk masanın 8 sandalyesi üzerine, kalan

(n-1)

masanın her biri için 6 sandalye eklenerek doğrusal örüntü kuralı oluşturulur.

4

6 masa için formülü uygulayarak sonucu hesaplama.

n = 6

için

S(6) = 6 \times 6 + 2 = 38

bulunur.

Genel kuralda

n

yerine istenen masa sayısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çokgen örüntülerinde çakışan ortak kenarların çevre ve eleman sayısına etkisini belirleme.

İpuçları

1

Masalar yan yana birleştirildiğinde, birbirine değen ortak kenarlara sandalye konulamayacağını dikkate alın.

2

Masa sayısı 1'den 2'ye çıkarken sandalye sayısının kaç arttığına bakın. Sonraki her masa için de aynı miktarda artış olup olmadığını kontrol edin.

3

6 masa yan yana dizildiğinde aralarında 5 adet ortak kenar çifti (birleşme noktası) oluşur. Toplam 48 kenardan bu birleşmeler nedeniyle elenen kenarları çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Aynı mantığı kullanarak, yan yana birleştirilen düzgün altıgen petek örüntülerinde çevreye dahil olmayan iç kenar sayılarını hesaplama çalışmaları yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Masa birleşim noktaları üzerinden hesaplama yapılabilir: 6 masa yan yana dizildiğinde masalar arasında 5 adet ortak temas çizgisi oluşur. Her temas çizgisi, iki farklı masanın da birer kenarını kapattığı için toplamda

5 \times 2 = 10

kenarın kullanımını engeller. Masalar ayrı olsaydı toplam

6 \times 8 = 48

sandalye konulabilirdi. Kullanılamayan 10 kenar çıkarıldığında

48 - 10 = 38

sandalye yerleştirilebileceği bulunur.

Tahmini Süre:45s

Soru 10Soru →

Bir süslemede düzgün altıgenler ve düzgün üçgenler, kenarları çakışacak şekilde yan yana dizilerek bir şerit oluşturulmaktadır. Bu örüntünün:
- $1$ . adımında $1$ adet düzgün altıgen ve bunun sağ kenarına yapışık $1$ adet düzgün üçgen bulunmaktadır.
- $2$ . adımında, $1$ . adımdaki şeklin sağ ucuna sırasıyla $1$ adet düzgün altıgen ve $1$ adet düzgün üçgen eklenmektedir.
- Sonraki her adımda, bir önceki adımda elde edilen şeklin sağ ucuna sırasıyla $1$ adet düzgün altıgen ve $1$ adet düzgün üçgen eklenerek örüntü devam ettirilmektedir.

Tüm çokgenlerin kenar uzunlukları $1$ birimdir.

Buna göre, bu örüntüyle oluşturulan bir şeridin dış çevresi $87$ birim olduğuna göre, bu şeritte toplam kaç adet düzgün üçgen kullanılmıştır?

15

17

18

21

29

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 17

Cevap

Şeritte toplam 17 adet düzgün üçgen kullanılmıştır.

Örüntünün genel çevre formülü

5n + 2

olarak bulunur. Burada

n

adım sayısını (yani kullanılan altıgen ve üçgen sayılarını) temsil eder. Çevre

87

birim olduğuna göre

5n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17

elde edilir. Her adımda

1

adet düzgün üçgen kullanıldığı için şeritteki toplam düzgün üçgen sayısı

17

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Örüntünün ilk birkaç adımı için şekillerin çevrelerini hesaplayıp kuralı belirleyelim.

1

. adımda

1

altıgen ve

1

üçgen vardır, çakışan kenar sayısı

1

'dir. Çevre =

6 + 3 - 2(1) = 7

birim olur.

2

. adımda

2

altıgen ve

2

üçgen vardır, çakışan kenar sayısı

3

'tür. Çevre =

2(6) + 2(3) - 2(3) = 12

birim olur.

Adımlar arasındaki artış miktarını bularak genel bir çevre formülü elde etmek amacıyla bu adım yapılmıştır.

2

n

adımlı bir şeritteki toplam kenar sayısını ve paylaşılan kenarları hesaba katarak genel çevre formülünü yazalım.

n

adet düzgün altıgen ve

n

adet düzgün üçgen için toplam kenar sayısı

6n + 3n = 9n

olur. Şekiller yan yana dizildiğinde aralarında

2n - 1

tane ortak kenar oluşur. Her ortak kenar çevreden

2

birim eksiltir. Bu durumda çevre formülü:

C(n) = 9n - 2(2n - 1) = 5n + 2

olur.

Çevresi

87

birim olan şeritteki adım sayısını (

n

) bulmak amacıyla genel formül oluşturulmuştur.

3

Çevre formül��nü

87

'ye eşitleyerek adım sayısı olan

n

değerini çözelim.

5n + 2 = 87 \implies 5n = 85 \implies n = 17

bulunur.

Her adımda tam olarak

1

adet düzgün üçgen eklendiğinden,

n

adımda toplam

n

adet üçgen kullanıldığını belirlemek amacıyla bu denklem çözülmüştür.

Anahtar Kavram

Çokgen örüntülerinde ortak kenarların çevre uzunluğuna etkisini dikkate alarak genel terim formülü yazma ve doğrusal denklem çözme.

İpuçları

1

Örüntünün 1. ve 2. adımlarındaki toplam kenar sayılarını hesaplayın ve ardından bu adımlarda üst üste binen (ortak olan) kenarları belirleyip toplamdan çıkarın.

2

1. adımdaki çevre

7

birimdir. 2. adımdaki çevre ise

12

birimdir. Her adımda çevre uzunluğunun kaçar kaçar arttığını bulun.

3

Artış miktarı

5

birim olduğuna göre,

n

. adımdaki şeklin çevre formülü

5n + 2

şeklindedir. Bu ifadeyi

87

'ye eşitleyerek

n

değerini bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, kare ve düzgün beşgenlerin yan yana dizilmesiyle oluşturulan şeritlerin çevre uzunluğu problemlerini çözerek bu kuralları pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, ilk adımdan sonra eklenen her bir altıgen-üçgen çiftinin çevreye getirdiği net katkıyı hesaplayabiliriz. 1. adımdaki başlangıç şeklinin (1 altıgen ve 1 üçgen) çevresi

7

birimdir. Bundan sonra eklenen her yeni altıgen-üçgen çifti, bir önceki şekle

1

ortak kenarla bağlanır. Dolayısıyla her adımda çevreye net katkı:

6

(altıgen) +

3

(üçgen) -

2 \times 2

(iki adet ortak kenar) =

5

birim olur.

n

adımda toplam çevre

7 + 5(n-1)

olacaktır.

7 + 5(n-1) = 87 \implies 5(n-1) = 80 \implies n-1 = 16 \implies n = 17

bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Pozitif tam sayılarla oluşturulan bir sayı piramidinde, her satırdaki sayılar belirli bir kurala göre dizilmiştir. Bu piramidin ilk beş satırı aşağıda gösterilmiştir:

$1.$ Satır: $1$
$2.$ Satır: $2, 4$
$3.$ Satır: $3, 6, 9$
$4.$ Satır: $4, 8, 12, 16$
$5.$ Satır: $5, 10, 15, 20, 25$

Buna göre, bu piramidin $15.$ satırındaki tüm sayıların toplamı kaçtır?

120

330

1575

1800

3375

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1800$

Cevap

Piramidin

15.

satırındaki sayıların toplamı

1800

olur.

15.

satırdaki sayılar

15

'in katları olan ardışık sayılardır. Bu sayılar

15, 30, 45, \dots, 225

şeklindedir. Terim sayısı

15

'tir. Bu sayıların toplamı,

15 \times (1 + 2 + \dots + 15) = 15 \times 120 = 1800

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Piramidin satır yapısını inceleyerek genel örüntü kuralını belirlemek.

n.

satırda

n

adet sayı bulunmakta olup, bu sayılar sırasıyla

n, 2n, 3n, \dots, n^2

şeklindedir (yani

n

sayısının ilk

n

katıdır).

Soruda istenen

15.

satırdaki sayıları ve bu sayıların dizilim kuralını tespit etmek için.

2

Genel örüntü kuralını

15.

satıra uygulayarak terimleri belirlemek.

15.

satırdaki sayılar sırasıyla

15 \cdot 1, 15 \cdot 2, \dots, 15 \cdot 15

yani

15, 30, 45, \dots, 225

olur.

Toplanacak olan sayıları net olarak görmek için.

3

Bu sayıların toplamını hesaplamak.

Toplam =

15 + 30 + 45 + \dots + 225 = 15 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 15)

olur.

1

'den

15

'e kadar olan sayıların toplamı

\frac{15 \cdot 16}{2} = 120

olduğundan, Toplam =

15 \cdot 120 = 1800

bulunur.

15.

satırdaki tüm sayıların toplamını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı piramitlerinde satır dizilim kuralları ve ardışık sayıların toplamı formülü.

İpuçları

1

Her satırın ilk elemanının satır numarasına eşit olduğuna ve elemanların o sayının katları şeklinde ilerlediğine dikkat edin.

2

n.

satırdaki sayıların toplamını bulmak için

n \cdot (1 + 2 + \dots + n)

ortak parantez alma yöntemini kullanabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla çalışan fakat her satırın son elemanının satır numarasının karesi olduğu örüntüleri inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Aritmetik dizi toplam formülünü doğrudan kullanabiliriz: Terim sayısı

15

, ilk terim

15

, son terim

225

olduğuna göre Toplam =

\frac{15}{2} \cdot (15 + 225) = \frac{15}{2} \cdot 240 = 15 \cdot 120 = 1800

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 12Soru →

İç içe geçmiş iki dairesel diskten oluşan bir şifreleme mekanizmasında:

* Dış disk $8$ eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ sayıları ile numaralandırılmıştır.
* İç disk $6$ eşit bölmeye ayrılmış olup üzerindeki bölgeler saat yönünde sırasıyla $A, B, C, D, E, F$ harfleriyle işaretlenmiştir.
* Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge bulunmaktadır. Başlangıçta gösterge dış diskte $1$ sayısını, iç diskte ise $A$ harfini göstermektedir.

Her bir tıkta dış disk saat yönünde $1$ bölme, iç disk ise saat yönünün tersine $1$ bölme dönmektedir.

Buna göre, mekanizma çalıştırıldıktan en az kaç tık sonra gösterge aynı anda dış diskte $3$ sayısını, iç diskte ise $E$ harfini gösterir?

14

18

22

10

26

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

22

Göstergede aynı anda 3 sayısı ve E harfinin görülebilmesi için geçen tık sayısı n olsun. Dış disk saat yönünde döndüğünden göstergeye sırasıyla 1, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 değerleri gelir ve 3 sayısı 6. tıkta ve sonrasında her 8 tıkta bir görünür (n = 6, 14, 22, ...). İç disk saat yönünün tersine döndüğünden göstergeye sırasıyla A, B, C, D, E, F değerleri gelir ve E harfi 4. tıkta ve sonrasında her 6 tıkta bir görünür (n = 4, 10, 16, 22, ...). İki dizilimde ortak olan en küçük tık sayısı 22 olduğundan doğru cevap 22 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1

Dış diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki sayıların değişim kuralını belirlemek.

n

tık sayısı olmak üzere, göstergeye

3

sayısının gelmesi için

n \equiv 6 \pmod 8

olmalıdır.

Dış disk saat yönünde döndüğü için, üzerindeki sayılar gösterge hizasından saat yönünün tersi yönde (yani geriye doğru: 8, 7, 6...) geçecektir. Dolayısıyla

1

'den sonra sırasıyla

8, 7, 6, 5, 4, 3

değerleri gelir ve ilk olarak

6

. tıkta göstergeye

3

ulaşır. Bu durum her

8

tıkta bir tekrarlanır.

2

İç diskin dönüşünü analiz ederek göstergedeki harflerin değişim kuralını belirlemek.

n

tık sayısı olmak üzere, göstergeye

E

harfinin gelmesi için

n \equiv 4 \pmod 6

olmalıdır.

İç disk saat yönünün tersine döndüğü için, üzerindeki harfler gösterge hizasından saat yönünde (yani ileriye doğru: B, C, D, E...) geçecektir. Dolayısıyla

A

'dan sonra sırasıyla

B, C, D, E

harfleri gelir ve ilk olarak

4

. tıkta göstergeye

E

ulaşır. Bu durum her

6

tıkta bir tekrarlanır.

3

Her iki koşulu aynı anda sağlayan en küçük pozitif

n

tam sayısını bulmak.

n = 22

n \equiv 6 \pmod 8

koşulunu sağlayan

n

değerleri

6, 14, 22, 30...

şeklindedir. Bu değerlerden

6 \pmod 6

özelliğine bakıldığında,

22 \equiv 4 \pmod 6

koşulunu sağlayan en küçük değerin

22

olduğu görülür.

Anahtar Kavram

Dairesel düzeneklerde bağıl dönme yönleri ve periyodik durumların modüler aritmetik ile çözülmesi.

Soru 13Soru →

Bir şifreli kilit mekanizmasında, ortak merkezli sırasıyla $8$ ve $12$ eşit bölmeye ayrılmış iki dairesel disk bulunmaktadır. Bölmeler, her iki diskte de saat yönünde sırasıyla $1$ 'den başlayarak ardışık sayılarla numaralandırılmıştır. Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge çizgisi yer almaktadır. Başlangıçta her iki diskin de $1$ numaralı bölmesi bu gösterge çizgisiyle hizalanmıştır.

Mekanizma çalıştırıldığında her bir adımda:
* İçteki disk saat yönünün tersine dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ artmaktadır ( $8$ 'den sonra tekrar $1$ gelmektedir).
* Dıştaki disk saat yönünde dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ azalmaktadır ( $1$ 'den sonra tekrar $12$ gelmektedir).

Buna göre, kilit mekanizması çalıştırıldıktan en az kaç adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı ilk kez $10$ olur?

4

8

12

16

20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Mekanizma çalıştırıldıktan en az 16 adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı 10 olur.

Toplamın ilk kez 10 olması için içteki çarkın 1 ve dıştaki çarkın 9 değerini gösterdiği 16. adımın gerçekleşmesi gerekir. Bu adımda içteki çark 16. adım sonunda tam turlarını tamamlayarak tekrar başlangıçtaki 1 değerine ulaşır. Dıştaki çark ise 16 adım geriye giderek 9 değerine ulaşır. Bu iki değerin toplamı 10'dur ve bu durum ilk kez 16. adımda gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1

Çarkların her adımdaki hareket kurallarını ve gösterdikleri sayıların genel ifadesini belirleme

İç çarkın gösterdiği sayı

I(n) = (n \bmod 8) + 1

düzeniyle 1'den başlayıp artarken, dış çarkın gösterdiği sayı

D(n) = (13 - n) \bmod 12

düzeniyle (burada 0 yerine 12 alınarak) 1'den başlayıp azalır.

Adım sayısına bağlı olarak her iki çarkın hangi sayıları göstereceğini matematiksel olarak modellemek için.

2

İlk 16 adımdaki değerleri ve bu değerlerin toplamını inceleme

n = 16

için iç çark

16 \equiv 0 \pmod 8

olduğundan başlangıç değeri olan

1

'i gösterir. Dış çark ise 16 adım geriye giderek

D(16) = (13 - 16) \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12}

değerini gösterir.

Çarkların gösterdiği sayıların toplamının 10 olduğu en küçük adım sayısını bulmak için.

3

Elde edilen değerlerin toplamını doğrulama ve en küçük adım olduğunu kontrol etme

16. adımda

I(16) + D(16) = 1 + 9 = 10

olur. 0 ile 15 arasındaki hiçbir adımda bu toplam 10'a ulaşmaz (örneğin 1-7 adımlarda toplam 14, 8-12 adımlarda toplam 6, 13-15 adımlarda toplam 18'dir).

Soruda istenen 'en az' ve 'ilk kez' koşullarının sağlandığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Periyodik dairesel düzeneklerde hareket yönü ve modüler aritmetik kullanarak durum analizi yapma

Soru 14Soru →

Bir koordinat düzleminde, köşeleri tam sayı koordinatlarına sahip olan bir çokgenin "alan ağırlığı" şu şekilde tanımlanmaktadır:

* Çokgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısı $İ$
* Çokgenin kenarları (sınırları) üzerinde yer alan tam sayı koordinatlı nokta sayısı $S$

olmak üzere, çokgenin alan ağırlığı $İ + \frac{S}{2} - 1$ formülüyle hesaplanır.

Buna göre; köşeleri koordinat düzleminde $O(0,0)$ , $A(6,0)$ ve $B(0,4)$ noktaları olan dik üçgenin alan ağırlığı kaçtır?

10

11

12

13

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Dik üçgenin sınır çizgileri üzerinde 12, iç bölgesinde ise 7 adet tam sayı koordinatlı nokta bulunur. Bu değerler formülde yerine yazıldığında alan ağırlığı 12 olarak hesaplanır.

Üçgenin kenarları üzerindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 12 ve iç bölgesindeki tam sayı koordinatlı noktaların sayısı 7'dir. Tanımlanan formüle bu değerler yerleştirildiğinde, alan ağırlığı 7 + (12/2) - 1 = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Üçgenin sınırları (kenarları) üzerindeki tam sayı koordinatlı nokta sayısını (

S

) belirleyelim.

S = 12

olarak bulunur.

Yatay kenar üzerindeki noktalar:

(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0), (6,0)

(7 adet). Dikey kenar üzerindeki noktalar:

(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4)

(5 adet). Hipotenüs doğrusunun denklemi

2x + 3y = 12

olup bu segmentteki tam sayı noktaları:

(0,4), (3,2), (6,0)

(3 adet). Köşe noktaları ikişer kez sayıldığından, toplam tekil sınır noktası sayısı:

7 + 5 + 3 - 3 = 12

olur.

2

Üçgenin iç bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı nokta sayısını (

İ

) belirleyelim.

İ = 7

olarak bulunur.

İç bölgedeki noktalar

x > 0

,

y > 0

ve

2x + 3y < 12

koşullarını sağlamalıdır. Bu koşula uyan noktalar şunlardır:

x=1

için

(1,1), (1,2), (1,3)

(3 adet);

x=2

için

(2,1), (2,2)

(2 adet);

x=3

için

(3,1)

(1 adet);

x=4

için

(4,1)

(1 adet). Toplam iç nokta sayısı:

3 + 2 + 1 + 1 = 7

olur.

3

Belirlenen değerleri alan ağırlığı formülünde yerine yazalım.

Alan ağırlığı = 12

Formüle göre:

İ + \frac{S}{2} - 1 = 7 + \frac{12}{2} - 1 = 7 + 6 - 1 = 12

sonucuna ulaşılır.

Anahtar Kavram

Geometrik şekiller üzerinde tanımlanan bağıntılarda sınır ve iç bölge koordinat noktalarını sistematik olarak sayma ve formülü doğru uygulama.

Alternatif Yöntem

Soruda tanımlanan formül aslında koordinat düzlemindeki çokgenlerin alanını hesaplamaya yarayan Pick Teoremi'dir. Dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 ve 4 birim olduğundan alanı doğrudan

\frac{6 \times 4}{2} = 12

birimkaredir. Dolayısıyla, formülün vereceği değer doğrudan bu alan değerine eşit olmalıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 15Soru →

Yarıçapı $3r$ olan $X$ kasnağı ile yarıçapı $8r$ olan $Y$ kasnağı, birbirine düz bir kayışla bağlanmıştır. $X$ kasnağının üzerinde bir $P$ noktası, $Y$ kasnağının üzerinde ise bir $R$ noktası işaretlenmiştir. Başlangıçta hem $P$ hem de $R$ noktaları kendi kasnaklarının en üst konumunda (saat 12 yönünde) bulunmaktadır.

Buna göre, $X$ kasnağı saat yönünde $6$ tam tur döndürüldüğünde, $Y$ kasnağı üzerindeki $R$ noktasının yeni konumu aşağıdakilerden hangisi olur?

En sol nokta

En ��st nokta

En sağ nokta

En alt nokta

Sağ alt çapraz nokta

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: En sağ nokta

Cevap

En sağ nokta

Düz kayışla birbirine bağlı kasnaklar aynı yönde döner. X kasnağının saat yönünde 6 tur atması, yarıçaplar oranı kullanılarak (

6 \times 3 / 8

) Y kasnağının da saat yönünde 2,25 tur atmasını sağlar. R noktası 2 tam turun ardından çeyrek tur (90 derece) daha saat yönünde ilerleyerek en üst konumdan en sağ konuma ulaşır. Bu nedenle en sağ nokta ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Kasnakların dönme yönünü belirlemek.

X kasnağı saat yönünde döndüğünde, düz bağlanan kayış nedeniyle Y kasnağı da onunla aynı yönde, yani saat yönünde döner.

Düz kayışla birbirine bağlanan kasnaklar her zaman aynı yönde hareket eder.

2

Y kasnağının tur sayısını hesaplamak.

N_Y = 6 \times \frac{3r}{8r} = 2,25

tur.

Birbirine bağlı kasnak sistemlerinde tur sayısı ile yarıçap ters orantılıdır (

N_X \times r_X = N_Y \times r_Y

).

3

R noktasının yeni konumunu belirlemek.

R noktası 2 tam tur ve ek olarak 0,25 (çeyrek) tur saat yönünde ilerler. 0,25 tur 90 derecelik açıya karşılık geldiğinden, en üst konumda olan R noktası saat yönünde 90 derece dönerek en sağ konuma gelir.

Bir tam tur 360 derece olduğundan, 0,25 tur

360^\circ \times 0,25 = 90^\circ

dönme anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Düz kayışla bağlı dairesel düzeneklerde tur sayısı hesaplama ve yön tayini

Soru 16Soru →

Pozitif tam sayılar, birinci satırdan başlayarak her satırda satır numarası kadar sayı olacak biçimde, aşağıdaki kurala göre bir piramit oluşturmaktadır:

1
3 2
6 5 4
10 9 8 7

Her satırın en solundaki sayı o satırın en büyük sayısıdır ve sayılar soldan sağa doğru birer azalarak sıralanmaktadır.

Buna göre, bu piramidin 12. satırındaki soldan 4. sayı kaçtır?

70

74

75

78

81

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 75

Cevap

12. satırdaki soldan 4. sayı 75'tir.

Doğru cevap olan 75 sayısı, 12. satırın ilk sayısı olan 78'den başlanıp soldan sağa doğru sayılar birer azaltılarak (78, 77, 76, 75) 4. sıraya ulaşıldığında elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Piramitteki satırların ilk (en soldaki) sayılarının örüntüsünü belirlemek.

1. satırın ilk sayısı 1, 2. satırın 3, 3. satırın 6, 4. satırın 10'dur. Bu sayılar ardışık toplamları temsil eden üçgensel sayılardır.

Her

n

. satırın ilk sayısı,

T_n = \frac{n \times (n+1)}{2}

formülüyle hesaplanan

n

. üçgensel sayıdır.

2

12. satırın en solundaki (ilk) sayıyı hesaplamak.

T_{12} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78

bulunur.

12. satırın ilk elemanını bulmak için

n = 12

değeri formülde yerine yazılır.

3

12. satırdaki sayıların diziliş kuralını uygulayarak soldan 4. sayıyı bulmak.

12. satırın elemanları soldan sağa doğru birer azalarak ilerler: 1. sayı 78, 2. sayı 77, 3. sayı 76 ve 4. sayı 75 olur.

Soldan

k

. sayıyı bulmak için ilk sayıdan

(k - 1)

çıkarmamız gerekir. 4. sayı için

78 - 3 = 75

elde edilir.

Anahtar Kavram

Sayı Piramitleri ve Üçgensel Dizilimler

Soru 17Soru →

Bir kenar uzunluğu $8$ birim olan $n$ adet eş kare; her bir karenin sol alt köşesi, bir önceki karenin ağırlık merkezine (köşegenlerinin kesişim noktasına) gelecek ve kenarları birbirine paralel olacak şekilde üst üste yerleştirilerek bir geometrik şekil elde ediliyor.

Bu şekilde elde edilen geometrik şeklin toplam alanı $304$ birimkare olduğuna göre, oluşan şeklin çevre uzunluğu kaç birimdir?

96

112

128

152

192

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 112

Cevap

Oluşan geometrik şeklin çevre uzunluğu 112 birimdir.

Çakışan bölgenin alanı

16

birimkare olup,

n

adet kare için toplam alan

48n + 16

olarak modellenir. Toplam alan

304

birimkareye eşitlendiğinde kare sayısı

n=6

olarak bulunur. Her çakışmada çevre uzunluğundan

16

birim eksildiğinden,

6

kare için toplam çevre

16(6) + 16 = 112

birim olmaktadır. Bu nedenle çevre uzunluğu 112 birim olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

İki ardışık karenin çakışma alanını hesaplayın.

Her bir karenin bir kenarı

8

birim olduğundan alanı

8 \times 8 = 64

birimkaredir. Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine yerleştirildiğinde, çakışan bölge kenarları paralel olan

4 \times 4

boyutlarında bir kare olur. Çakışan alan

4 \times 4 = 16

birimkaredir.

Toplam alan bağıntısını oluşturmak için çakışan alan miktarını bilmemiz gerekir.

2

Kare sayısı

n

için toplam alan formülünü kurun ve

n

değerini bulun.

n

adet kare için

n-1

adet çakışma bölgesi oluşur. Toplam Alan =

n \times 64 - (n-1) \times 16 = 48n + 16

birimkare olur.

48n + 16 = 304 \implies 48n = 288 \implies n = 6

bulunur.

Şekli oluşturan toplam kare sayısını bulmak, çevre uzunluğunu hesaplamamızı sağlayacaktır.

3

Oluşan şeklin çevre uzunluğunu hesaplayın.

n

adet karenin çakışma olmadan toplam çevresi

32n

birimdir. Her bir çakışmada, ikişer kenardan

4

'er birimlik toplam

16

birim çevre kaybı yaşanır. Toplam Çevre =

32n - 16(n-1) = 16n + 16

birimdir.

n = 6

i��in Çevre =

16 \times 6 + 16 = 112

birim bulunur.

Soruda istenen nihai çevre uzunluğuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Geometrik şekillerin çakışma durumlarında alan ve çevre bağıntılarının modellenmesi

İpuçları

1

Bir karenin sol alt köşesi diğerinin ağırlık merkezine geliyorsa, iki karenin çakışan kısmı büyük karenin tam olarak dörtte biridir.

2

n

tane kare doğrusal şekilde dizildiğinde aralarında

n-1

tane çakışma bölgesi oluşur. Toplam alanı bulmak için karelerin alanları toplamından bu çakışan alanları çıkarmalısınız.

3

Çevre hesaplarken, her çakışma noktası dış çevreye dahil olan bazı kenar parçalarını yok eder. İki karenin birleştiği her yerde, dış çevreden

4 + 4 = 8

birimlik ikişer adet parça (toplamda 16 birim) eksilir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, kareler yerine eşkenar üçgenlerin ağırlık merkezleri kullanılarak oluşturulan örüntülerin alan ve çevre ilişkilerini inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam çevreyi bulmak için şekli yatay ve dikey projeksiyonlarına ayırarak da hesaplayabilirsiniz. En sol alt köşeden en sağ üst köşeye kadar olan toplam yatay uzunluk

8 + 4(n-1) = 4n + 4

birimdir. Aynı şekilde dikey uzunluk da

4n + 4

birimdir. Şeklin dış sınırı tırtıklı olsa da, çevre uzunluğu bu sınırları çevreleyen en küçük dikdörtgenin çevresine eşittir. Dolayısıyla Çevre =

2 \times ((4n+4) + (4n+4)) = 16n + 16

olur. Buradan

n=6

için Çevre =

16(6) + 16 = 112

birim bulunur.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 18Soru →

2x2 boyutundaki bir tablo ve içindeki harflerle tanımlanan bir işlem aşağıda verilmiştir:

$a$	$b$
$c$	$d$

=

(a + d) \cdot (b - c)

Buna göre,

$5$	$x$
$2$	$4$

=

$x$	$7$
$1$	$2$

eşitliğini sağlayan

x

değeri kaçtır?

2

4

5

8

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitliği sağlayan doğru değer 10'dur.

Her iki tablo için tanımlanan işlem kuralı sırasıyla uygulandığında birinci tablodan

9(x - 2)

, ikinci tablodan ise

6(x + 2)

ifadesi elde edilir. Bu iki ifade birbirine eşitlenip denklem çözüldüğünde

x

değeri 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci tablo için tanımlanan işlemi uygularız.

(5 + 4) \cdot (x - 2) = 9(x - 2) = 9x - 18

İşlem tanımında

a = 5

,

b = x

,

c = 2

ve

d = 4

değerlerini yerlerine yerleştirmek için.

2

İkinci tablo için tanımlanan işlemi uygularız.

(x + 2) \cdot (7 - 1) = (x + 2) · 6 = 6x + 12

İşlem tanımında

a = x

,

b = 7

,

c = 1

ve

d = 2

değerlerini yerlerine yerleştirmek için.

3

İki tablonun sonuçlarını birbirine eşitleyerek denklemi kurarız.

9x - 18 = 6x + 12

Soruda iki tablonun değerlerinin birbirine eşit olduğu belirtildiği için.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi çözeriz.

9x - 6x = 12 + 18 \Rightarrow 3x = 30 \Rightarrow x = 10

Bilinmeyenleri eşitliğin bir tarafında, sayıları diğer tarafında toplayıp x değerini yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Şekil ile Tanımlanmış Operatörler

Soru 19Soru →

Bir eşkenar üçgen, kenarlarının orta noktaları birleştirilerek d��rt eş küçük üçgensel bölgeye (Üst, Sol Alt, Sağ Alt ve Orta) ayrılmıştır. Bu üçgen üzerinde oluşturulan bir şekil örüntüsünün ilk dört adımı şu şekildedir:
- 1. Adım: Sol alt bölge boyalıdır; orta bölgede $1$ adet siyah nokta bulunmaktadır.
- 2. Adım: Üst bölge boyalıdır; sol alt bölgede $2$ adet siyah nokta bulunmaktadır.
- 3. Adım: Sağ alt bölge boyalıdır; üst bölgede $3$ adet siyah nokta bulunmaktadır.
- 4. Adım: Orta bölge boyalıdır; sağ alt bölgede $4$ adet siyah nokta bulunmaktadır.

Buna göre, bu örüntünün 5. adım�� aşağıdakilerden hangisidir?

Sol alt bölgesi boyalı ve üst bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Sol alt bölgesi boyalı ve orta bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Sağ alt bölgesi boyalı ve orta bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Sol alt bölgesi boyalı ve orta bölgesinde 4 adet siyah nokta bulunan üçgen

Orta bölgesi boyalı ve sol alt bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Sol alt bölgesi boyalı ve orta bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Cevap

Sol alt bölgesi boyalı ve orta bölgesinde 5 adet siyah nokta bulunan üçgen

Örüntü kurallarına göre, boyalı bölge 4 adımdan oluşan 'Sol Alt → Üst → Sağ Alt → Orta' döngüsünü takip eder ve 5. adımda tekrar başa dönerek 'Sol Alt' bölgeyi boyar. Siyah noktalar ise her adımda sayıca

1

artar ve bir önceki adımın boyalı bölgesine yerleşir. 4. adımda 'Orta' bölge boyalı olduğundan, 5. adımda 'Orta' bölgede

5

adet siyah nokta bulunmalıdır. Bu koşulların tamamını sağlayan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

Boyalı bölgenin hareket döngüsünü belirleyin.

Boyalı bölgenin sırasıyla Sol Alt → Üst → Sağ Alt → Orta şeklinde ilerlediği ve bu 4 adımlık döngünün sürekli tekrar ettiği görülür.

Şekil dizisindeki boyalı alanın periyodik kuralını bulmak.

2

5. adım i��in boyalı bölgenin yerini bulun.

Döngü 4 adımda bir başa döndüğü için 5. adımdaki boyalı bölge, 1. adımdaki gibi 'Sol Alt' bölge olmalıdır.

Gelecek adımdaki boyalı konumu netleştirmek.

3

Siyah noktaların konum kuralını analiz edin.

Noktalar her adımda, bir önceki adımda boyalı olan bölgenin içerisine yerleştirilmektedir. (Örn: 2. adımda noktalar, 1. adımda boyalı olan sol alt bölgededir.)

Noktaların hangi bölgeye yerleştiğini açıklayan kuralı bulmak.

4

5. adım için noktaların konumunu ve sayısını belirleyin.

4. adımda boyalı olan bölge 'Orta' bölge olduğundan, 5. adımda noktalar 'Orta' bölgede bulunmalıdır. Sayıları ise her adımda bir arttığı için

4 + 1 = 5

olmalıdır.

Örüntünün son adımındaki nokta sayısı ve konumunu saptamak.

Anahtar Kavram

İki bağımsız değişkenin (boyalı bölge döngüsü ve sayısal artışa bağlı konum değişimi) bir arada analiz edilmesi.

İpuçları

1

Boyalı bölgenin adımlardaki konumlarını sırasıyla yazarak nasıl bir döngü izlediğini bulun.

2

Noktaların bulunduğu bölgelerin, bir önceki adımda hangi özelliğe sahip bölgeler olduğunu karşılaştırın.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde iç içe geçmiş çokgenlerin kenar sayılarının değişimini ve boyalı dilimlerin yönünü inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Noktaların konumu ile boyalı bölgenin konumu arasındaki faz farkını bulabilirsiniz. Noktaların konumu, boyalı bölgenin konumunu tam olarak 1 adım geriden takip etmektedir.

Tahmini Süre:1m 30s

Sayı ve Şekil Bağıntıları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar