Bir şifreli kilit mekanizmasında, ortak merkezli sırasıyla 8 ve 12 eşit bölmeye ayrılmış i… — ALES

Bir şifreli kilit mekanizmasında, ortak merkezli sırasıyla $8$ ve $12$ eşit bölmeye ayrılmış iki dairesel disk bulunmaktadır. Bölmeler, her iki diskte de saat yönünde sırasıyla $1$ 'den başlayarak ardışık sayılarla numaralandırılmıştır. Mekanizmanın en üst noktasında sabit bir gösterge çizgisi yer almaktadır. Başlangıçta her iki diskin de $1$ numaralı bölmesi bu gösterge çizgisiyle hizalanmıştır.

Mekanizma çalıştırıldığında her bir adımda:
* İçteki disk saat yönünün tersine dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ artmaktadır ( $8$ 'den sonra tekrar $1$ gelmektedir).
* Dıştaki disk saat yönünde dönmekte, böylece gösterge çizgisinin işaret ettiği sayı her adımda $1$ azalmaktadır ( $1$ 'den sonra tekrar $12$ gelmektedir).

Buna göre, kilit mekanizması çalıştırıldıktan en az kaç adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı ilk kez $10$ olur?

A
4
B
8
C
12
16Cevap
E
20

Cevap

Mekanizma çalıştırıldıktan en az 16 adım sonra gösterge çizgisinin işaret ettiği sayıların toplamı 10 olur.

Toplamın ilk kez 10 olması için içteki çarkın 1 ve dıştaki çarkın 9 değerini gösterdiği 16. adımın gerçekleşmesi gerekir. Bu adımda içteki çark 16. adım sonunda tam turlarını tamamlayarak tekrar başlangıçtaki 1 değerine ulaşır. Dıştaki çark ise 16 adım geriye giderek 9 değerine ulaşır. Bu iki değerin toplamı 10'dur ve bu durum ilk kez 16. adımda gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

Çarkların her adımdaki hareket kurallarını ve gösterdikleri sayıların genel ifadesini belirleme

İç çarkın gösterdiği sayı

I(n) = (n \bmod 8) + 1

düzeniyle 1'den başlayıp artarken, dış çarkın gösterdiği sayı

D(n) = (13 - n) \bmod 12

düzeniyle (burada 0 yerine 12 alınarak) 1'den başlayıp azalır.

Adım sayısına bağlı olarak her iki çarkın hangi sayıları göstereceğini matematiksel olarak modellemek için.

İlk 16 adımdaki değerleri ve bu değerlerin toplamını inceleme

n = 16

için iç çark

16 \equiv 0 \pmod 8

olduğundan başlangıç değeri olan

1

'i gösterir. Dış çark ise 16 adım geriye giderek

D(16) = (13 - 16) \equiv -3 \equiv 9 \pmod{12}

değerini gösterir.

Çarkların gösterdiği sayıların toplamının 10 olduğu en küçük adım sayısını bulmak için.

Elde edilen değerlerin toplamını doğrulama ve en küçük adım olduğunu kontrol etme

16. adımda

I(16) + D(16) = 1 + 9 = 10

olur. 0 ile 15 arasındaki hiçbir adımda bu toplam 10'a ulaşmaz (örneğin 1-7 adımlarda toplam 14, 8-12 adımlarda toplam 6, 13-15 adımlarda toplam 18'dir).

Soruda istenen 'en az' ve 'ilk kez' koşullarının sağlandığından emin olmak için.

Anahtar Kavram

Periyodik dairesel düzeneklerde hareket yönü ve modüler aritmetik kullanarak durum analizi yapma

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru