Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTemel Açı Kavramları ve Açı Çeşitleri

Ortak bir OO başlangıç noktasına sahip OAOA, OBOB, OCOC, ODOD ve OEOE ışınları saat yönünde sırasıyla sıralanarak komşu AOB^\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC}, COD^\widehat{COD}, DOE^\widehat{DOE} ve EOA^\widehat{EOA} açılarını oluşturmaktadır. Bu açılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* AOB^\widehat{AOB} ve BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılardır.
* COD^\widehat{COD} ve DOE^\widehat{DOE} komşu bütünler açılardır.
* COD^\widehat{COD} bir geniş açıdır.
* AOB^\widehat{AOB} aç��sının açıortayı ile COD^\widehat{COD} açısının açıortayı arasında kalan dar açının ölçüsü 155∘155^\circ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, DOE^\widehat{DOE} açısının derece cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    40
  2. B
    45
  3. 50Cevap
  4. D
    80
  5. E
    90

Cevap

Doğru yanıt 50 değerini içeren seçenektir.
Doğru cevap olan 5050 seçeneği, DOE^\widehat{DOE} açısının alabileceği sınırların 0∘<m(DOE^)<50∘0^\circ < m(\widehat{DOE}) < 50^\circ olarak tespit edilmesinden sonra en küçük tam sayı değeri olan 1∘1^\circ ve en büyük tam sayı değeri olan 49∘49^\circ değerlerinin toplanmasıyla (1+49=501 + 49 = 50) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ölçülerini harflendirip temel bağıntıları yazalım.
m(AOB^)=x1m(\widehat{AOB}) = x_1, m(BOC^)=x2m(\widehat{BOC}) = x_2, m(COD^)=x3m(\widehat{COD}) = x_3, m(DOE^)=x4m(\widehat{DOE}) = x_4 ve m(EOA^)=x5m(\widehat{EOA}) = x_5 olsun. AOB^\widehat{AOB} ile BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılar olduğundan x1+x2=90∘x_1 + x_2 = 90^\circ olur. Bu durumda OCOC ışını OAOA ışını ile 90∘90^\circ'lik açı yapar.
Komşu tümler açıların toplamı 90∘90^\circ'dir.
2
Açıortayların konumlarını belirleyip aralarındaki açıyı veren denklemi kuralım.
AOB^\widehat{AOB} açısının açıortayı x1/2x_1 / 2 konumundadır. COD^\widehat{COD} açısının açıortayı ise 90∘90^\circ çizgisinin üzerine x3/2x_3 / 2 eklenerek bulunur, yani 90∘+x3/290^\circ + x_3 / 2 konumundadır. İki açıortay arasındaki açı: (90∘+x3/2)−x1/2=90∘+x3−x12=155∘(90^\circ + x_3 / 2) - x_1 / 2 = 90^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ olarak verilir.
Başlangıç ışınına göre açıortayların açısal konumlarını bulmak aralarındaki farkı hesaplamamızı sağlar.
3
Kurulan denklemi çözerek x3x_3 ile x1x_1 arasındaki ilişkiyi bulalım.
90∘+x3−x12=155∘  ⟹  x3−x12=65∘  ⟹  x3−x1=130∘  ⟹  x3=130∘+x190^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ \implies \frac{x_3 - x_1}{2} = 65^\circ \implies x_3 - x_1 = 130^\circ \implies x_3 = 130^\circ + x_1 elde edilir.
x3x_3 ile x1x_1 açıları arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak sınır değerlerini belirlemede yardımcı olur.
4
Geniş açı tanımını ve geometrik sınırlılıkları kullanarak aralıkları bulalım.
COD^\widehat{COD} (x3x_3) bir geniş açı olduğundan 90∘<x3<180∘90^\circ < x_3 < 180^\circ olmalıdır. x3=130∘+x1x_3 = 130^\circ + x_1 yazarsak: 90∘<130∘+x1<180∘  ⟹  −40∘<x1<50∘90^\circ < 130^\circ + x_1 < 180^\circ \implies -40^\circ < x_1 < 50^\circ olur. Geometrik bir açı ölçüsü pozitif olmak zorunda olduğundan 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ aralığı elde edilir.
Geniş açıların ölçüsü 90∘90^\circ ile 180∘180^\circ arasında olmak zorundadır ve geometrik açılar sıfırdan büyüktür.
5
DOE^\widehat{DOE} (x4x_4) açısının sınırlarını belirleyip en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.
x3x_3 ve x4x_4 komşu bütünler açılar olduğundan x3+x4=180∘x_3 + x_4 = 180^\circ'dir. Buradan x4=180∘−x3=180∘−(130∘+x1)=50∘−x1x_4 = 180^\circ - x_3 = 180^\circ - (130^\circ + x_1) = 50^\circ - x_1 bulunur. 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ olduğundan 0∘<50∘−x1<50∘  ⟹  0∘<x4<50∘0^\circ < 50^\circ - x_1 < 50^\circ \implies 0^\circ < x_4 < 50^\circ elde edilir. Bu aralıkta x4x_4 açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 1∘1^\circ, en büyük tam sayı değeri ise 49∘49^\circ olur. Toplamları: 1+49=501 + 49 = 50 olarak bulunur.
Açının değer aralığındaki en uç tam sayı sınırlarını bularak soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümler ve bütünler açı kavramları ile açıortay bağıntılarının eşitsizlikler yardımıyla analiz edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Açı Kavramları ve Açı Çeşitleri

Bu konudan daha fazla soru