Examkin

Doğruda ve Üçgende Açılar

6 soru

Soru 1Soru →

Ortak bir OO başlangıç noktasına sahip OAOA, OBOB, OCOC, ODOD ve OEOE ışınları saat yönünde sırasıyla sıralanarak komşu AOB^\widehat{AOB}, BOC^\widehat{BOC}, COD^\widehat{COD}, DOE^\widehat{DOE} ve EOA^\widehat{EOA} açılarını oluşturmaktadır. Bu açılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* AOB^\widehat{AOB} ve BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılardır.
* COD^\widehat{COD} ve DOE^\widehat{DOE} komşu bütünler açılardır.
* COD^\widehat{COD} bir geniş açıdır.
* AOB^\widehat{AOB} aç��sının açıortayı ile COD^\widehat{COD} açısının açıortayı arasında kalan dar açının ölçüsü 155∘155^\circ olarak ölçülmüştür.

Buna göre, DOE^\widehat{DOE} açısının derece cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri ile en küçük tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Doğru yanıt 50 değerini içeren seçenektir.
Doğru cevap olan 5050 seçeneği, DOE^\widehat{DOE} açısının alabileceği sınırların 0∘<m(DOE^)<50∘0^\circ < m(\widehat{DOE}) < 50^\circ olarak tespit edilmesinden sonra en küçük tam sayı değeri olan 1∘1^\circ ve en büyük tam sayı değeri olan 49∘49^\circ değerlerinin toplanmasıyla (1+49=501 + 49 = 50) elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Açı ölçülerini harflendirip temel bağıntıları yazalım.
m(AOB^)=x1m(\widehat{AOB}) = x_1, m(BOC^)=x2m(\widehat{BOC}) = x_2, m(COD^)=x3m(\widehat{COD}) = x_3, m(DOE^)=x4m(\widehat{DOE}) = x_4 ve m(EOA^)=x5m(\widehat{EOA}) = x_5 olsun. AOB^\widehat{AOB} ile BOC^\widehat{BOC} komşu tümler açılar olduğundan x1+x2=90∘x_1 + x_2 = 90^\circ olur. Bu durumda OCOC ışını OAOA ışını ile 90∘90^\circ'lik açı yapar.
Komşu tümler açıların toplamı 90∘90^\circ'dir.
2
Açıortayların konumlarını belirleyip aralarındaki açıyı veren denklemi kuralım.
AOB^\widehat{AOB} açısının açıortayı x1/2x_1 / 2 konumundadır. COD^\widehat{COD} açısının açıortayı ise 90∘90^\circ çizgisinin üzerine x3/2x_3 / 2 eklenerek bulunur, yani 90∘+x3/290^\circ + x_3 / 2 konumundadır. İki açıortay arasındaki açı: (90∘+x3/2)−x1/2=90∘+x3−x12=155∘(90^\circ + x_3 / 2) - x_1 / 2 = 90^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ olarak verilir.
Başlangıç ışınına göre açıortayların açısal konumlarını bulmak aralarındaki farkı hesaplamamızı sağlar.
3
Kurulan denklemi çözerek x3x_3 ile x1x_1 arasındaki ilişkiyi bulalım.
90∘+x3−x12=155∘  ⟹  x3−x12=65∘  ⟹  x3−x1=130∘  ⟹  x3=130∘+x190^\circ + \frac{x_3 - x_1}{2} = 155^\circ \implies \frac{x_3 - x_1}{2} = 65^\circ \implies x_3 - x_1 = 130^\circ \implies x_3 = 130^\circ + x_1 elde edilir.
x3x_3 ile x1x_1 açıları arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak sınır değerlerini belirlemede yardımcı olur.
4
Geniş açı tanımını ve geometrik sınırlılıkları kullanarak aralıkları bulalım.
COD^\widehat{COD} (x3x_3) bir geniş açı olduğundan 90∘<x3<180∘90^\circ < x_3 < 180^\circ olmalıdır. x3=130∘+x1x_3 = 130^\circ + x_1 yazarsak: 90∘<130∘+x1<180∘  ⟹  −40∘<x1<50∘90^\circ < 130^\circ + x_1 < 180^\circ \implies -40^\circ < x_1 < 50^\circ olur. Geometrik bir açı ölçüsü pozitif olmak zorunda olduğundan 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ aralığı elde edilir.
Geniş açıların ölçüsü 90∘90^\circ ile 180∘180^\circ arasında olmak zorundadır ve geometrik açılar sıfırdan büyüktür.
5
DOE^\widehat{DOE} (x4x_4) açısının sınırlarını belirleyip en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamını hesaplayalım.
x3x_3 ve x4x_4 komşu bütünler açılar olduğundan x3+x4=180∘x_3 + x_4 = 180^\circ'dir. Buradan x4=180∘−x3=180∘−(130∘+x1)=50∘−x1x_4 = 180^\circ - x_3 = 180^\circ - (130^\circ + x_1) = 50^\circ - x_1 bulunur. 0∘<x1<50∘0^\circ < x_1 < 50^\circ olduğundan 0∘<50∘−x1<50∘  ⟹  0∘<x4<50∘0^\circ < 50^\circ - x_1 < 50^\circ \implies 0^\circ < x_4 < 50^\circ elde edilir. Bu aralıkta x4x_4 açısının alabileceği en küçük tam sayı değeri 1∘1^\circ, en büyük tam sayı değeri ise 49∘49^\circ olur. Toplamları: 1+49=501 + 49 = 50 olarak bulunur.
Açının değer aralığındaki en uç tam sayı sınırlarını bularak soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tümler ve bütünler açı kavramları ile açıortay bağıntılarının eşitsizlikler yardımıyla analiz edilmesi.
Soru 2Soru →

Bir ABCABC üçgeninde ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|'dir. [BC][BC] kenarının CC köşesi yönündeki uzantısı üzerinde bir DD noktası alınıyor.

∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| ve m(BAC^)=80∘m(\widehat{BAC}) = 80^\circ olduğuna göre, m(CAD^)m(\widehat{CAD}) kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 25

Cevap

25 derecedir.
Doğru cevap olan 25 değerine ulaşmak için öncelikle ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC| ikizkenarlığından ABCABC üçgeninin taban açısı olan m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ bulunur. Ardından B,C,DB, C, D doğrusallığından △ACD\triangle ACD'nin tepe açısı m(ACD^)=180∘−50∘=130∘m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ olarak hesaplanır. ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| ikizkenarlığı kullanılarak taban açıları olan m(CAD^)=m(CDA^)=(180∘−130∘)/2=25∘m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = (180^\circ - 130^\circ)/2 = 25^\circ bulunur. Alternatif olarak, iki iç açının toplamının komşu olmayan bir dış açıya eşit olması kuralından, ACDACD üçgeninin dış açısı olan m(ACB^)=50∘m(\widehat{ACB}) = 50^\circ açısı, m(CAD^)+m(CDA^)=2⋅m(CAD^)m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA}) = 2 \cdot m(\widehat{CAD}) toplamına eşittir. Buradan da doğrudan m(CAD^)=25∘m(\widehat{CAD}) = 25^\circ bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ü��geninin taban açılarını bulun.
m(ABC^)=m(ACB^)=50∘m(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 50^\circ
ABCABC üçgeni ikizkenar olduğundan (∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|), taban açılarının ölçüleri eşittir. Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olduğundan, taban açısı 180∘−80∘2=50∘\frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ olarak bulunur.
2
ACDACD üçgeninin tepe açısını (m(ACD^)m(\widehat{ACD})) hesaplayın.
m(ACD^)=130∘m(\widehat{ACD}) = 130^\circ
B,C,DB, C, D noktaları doğrusal olduğundan, ACB^\widehat{ACB} ve ACD^\widehat{ACD} komşu bütünler açılardır. Dolayısıyla m(ACD^)=180∘−50∘=130∘m(\widehat{ACD}) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ olur.
3
ACDACD ikizkenar üçgeninde istenen CAD^\widehat{CAD} açısını bulun.
m(CAD^)=25∘m(\widehat{CAD}) = 25^\circ
ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğundan bu üçgen de ikizkenardır ve taban açılarının ölçüleri eşittir (m(CAD^)=m(CDA^)m(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA})). Üçgenin iç açıları toplamından, 2⋅m(CAD^)+130∘=180∘  ⟹  2⋅m(CAD^)=50∘  ⟹  m(CAD^)=25∘2 \cdot m(\widehat{CAD}) + 130^\circ = 180^\circ \implies 2 \cdot m(\widehat{CAD}) = 50^\circ \implies m(\widehat{CAD}) = 25^\circ elde edilir.

Anahtar Kavram

İkizkenar üçgende eşit kenarları gören taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir ve bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

İpuçları

1
İkizkenar üçgende eşit kenarların karşısındaki açılar da birbirine eşittir. İlk olarak ABCABC üçgeninin taban açılarını bulmayı deneyin.
2
B,C,DB, C, D noktaları bir doğru üzerindedir. Dolayısıyla ACB^\widehat{ACB} açısı ile ACD^\widehat{ACD} açısı birbirini 180∘180^\circ'ye tamamlar.
3
ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| verildiğine göre, bu üçgenin taban açısı CAD^\widehat{CAD}'dir. ACB^\widehat{ACB} açısı bu üçgenin bir dış açısı olduğundan, kendisine komşu olmayan iki iç açının (m(CAD^)+m(CDA^)m(\widehat{CAD}) + m(\widehat{CDA})) toplamına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Farklı ikizkenar üçgenlerin bir arada verildiği ve dış açı özelliklerinin kullanıldığı diğer açı sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Üçgende iki iç açının toplamı, kendilerine komşu olmayan bir dış açıya eşittir kuralı kullanılabilir. ACDACD üçgeninde ∣AC∣=∣CD∣|AC| = |CD| olduğundan m(CAD^)=m(CDA^)=xm(\widehat{CAD}) = m(\widehat{CDA}) = x olsun. Bu durumda ACDACD üçgeninin dış açısı olan m(ACB^)=x+x=2xm(\widehat{ACB}) = x + x = 2x olur. ABCABC üçgeni ikizkenar olduğundan m(ABC^)=m(ACB^)=2xm(\widehat{ABC}) = m(\widehat{ACB}) = 2x yazılır. ABCABC üçgeninin iç açılar toplamından: 80∘+2x+2x=180∘  ⟹  4x=100∘  ⟹  x=25∘80^\circ + 2x + 2x = 180^\circ \implies 4x = 100^\circ \implies x = 25^\circ bulunur.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Komşu bütünler iki açıdan birinin ölçüsü, diğerinin ölçüsünün 3 katından 20∘20^{\circ} fazladır. Buna göre, küçük açının tümlerinin ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 50

Cevap

Küçük açının tümlerinin ölçüsü 50 derecedir.
Komşu bütünler iki açının toplamı 180 derecedir. Küçük açıya xx dersek, büyük açı 3x+20∘3x + 20^{\circ} olur. Bu iki açının toplamı x+3x+20∘=180∘x + 3x + 20^{\circ} = 180^{\circ} denklemini verir. Denklemi çözdüğümüzde 4x=160∘4x = 160^{\circ} ve x=40∘x = 40^{\circ} bulunur. Soruda küçük açının tümleri istendiğinden, bu açıyı 90 dereceye tamamlayan değer 90∘−40∘=50∘90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Komşu bütünler açıların toplamının 180 derece olduğunu belirleme.
Küçük açıya xx dersek, büyük açı 3x+20∘3x + 20^{\circ} olur ve toplamları x+(3x+20∘)=180∘x + (3x + 20^{\circ}) = 180^{\circ} eşitliğini sağlar.
Bütünler açılar birbirini 180 dereceye tamamlar.
2
Denklemi çözerek küçük açının ölçüsünü hesaplama.
4x+20∘=180∘  ⟹  4x=160∘  ⟹  x=40∘4x + 20^{\circ} = 180^{\circ} \implies 4x = 160^{\circ} \implies x = 40^{\circ}.
Küçük açının değerini bulmak için doğrusal denklemi çözüyoruz.
3
Küçük açının tümlerini bulma.
90∘−40∘=50∘90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}.
Tümler açılar birbirini 90 dereceye tamamlar.

Anahtar Kavram

Bütünler ve tümler açı tanımları ile doğrusal denklem çözümü.

İpuçları

1
Komşu bütünler iki açının ölçüleri toplamının 180∘180^{\circ} olduğunu hatırlayın.
2
Küçük açıya xx diyerek büyük açıyı xx cinsinden ifade edin ve denklemi çözerek küçük açıyı bulun.

Daha Fazla Pratik

Bütünlerinin ölçüsü tümlerinin ölçüsünün 3 katı olan açının ölçüsünü hesaplamayı deneyin.

Alternatif Yöntem

Oranlama mantığıyla; açıların farkı denklemle ifade edilip toplamları 180 dereceye eşitlendiğinde küçük açının 40∘40^{\circ}, büyük açının 140∘140^{\circ} olduğu bulunur. Buradan da tümler açı doğrudan hesaplanır.
Tahmini Süre:45s
Soru 4Soru →

Bir AA açısı dar açı, BB açısı ise geniş açıdır. Bu iki açının ölçüleri toplamı bir doğru açının ölçüsüne eşittir.

Buna göre, AA açısının derece cinsinden alabileceği en büyük tam sayı değeri için BB açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 91∘91^{\circ}

Cevap

B açısının ölçüsü 91 derecedir.
A açısı dar açı olduğundan alabileceği en büyük tam sayı değeri 89 derecedir. İki açının toplamı doğru açıya (180 dereceye) eşit olduğundan, B açısının ölçüsü 180 - 89 = 91 derece olur. 91 derece aynı zamanda bir geniş açı olduğundan tüm koşullar sağlanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dar açının tanımını kullanarak A açısının alabileceği en büyük tam sayı değerini belirleyin.
Dar açının ölçüsü 0 ile 90 derece arasındadır (0 < A < 90). Bu aralıktaki en büyük tam sayı 89 derecedir. Dolayısıyla, A = 89 derecedir.
A açısın��n alabileceği en büyük tam sayı değerini bulmak, B açısının değerini hesaplamak için gereklidir.
2
Doğru açının ölçüsünü kullanarak B açısının değerini hesaplayın.
Doğru açının ölçüsü 180 derecedir. A + B = 180 derece eşitliğinden, 89 + B = 180 ise B = 180 - 89 = 91 derece bulunur.
A ve B açılarının toplamı bir doğru açıyı oluşturduğu için bu iki açının toplamı 180 dereceye eşitlenmelidir.
3
B açısının geniş açı tanımına uygunluğunu kontrol edin.
Geniş açının ölçüsü 90 ile 180 derece arasındadır (90 < B < 180). Bulunan 91 derece bu tanıma uymaktadır.
Soruda verilen B açısının geniş açı olma koşulunun sağlandığını doğrulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Dar, geniş ve doğru açı tanımları ile bu açılar arasındaki ilişkiler.

İpuçları

1
Dar açının ölçüsünün en fazla kaç derece olabileceğini ve doğru açının kaç dereceye eşit olduğunu hatırlayın.
Tahmini Süre:45s
Soru 5Soru →

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde, BB ve DD köşeleri [AC][AC] köşegeninin farklı taraflarında yer almaktadır.

[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]
[AD]⊥[DC][AD] \perp [DC]

[AC][AC] köşegeninin orta noktası EE noktasıdır. m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ ve m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(EBD^)=xm(\widehat{EBD}) = x kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10∘10^\circ

Cevap

İstenen açı 10∘10^\circ olarak bulunur.
Doğru cevap 10∘10^\circ olan seçenektir. [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve [AD]⊥[DC][AD] \perp [DC] olduğundan ABCABC ve ADCADC birer dik üçgendir. Hipotenüsün orta noktası olan EE noktasına çizilen BEBE ve DEDE kenarortayları muhteşem üçlü özelliğinden dolayı hipotenüsün yarısına (AE=CEAE = CE) eşit olur. Bu durumda AE=BE=CE=DEAE = BE = CE = DE eşitliği elde edilir. Buradan ABEABE ve ADEADE üçgenlerinin ikizkenar üçgen olduğu görülür. İkizkenar üçgenlerin taban açılarından faydalanarak m(BEC^)=100∘m(\widehat{BEC}) = 100^\circ ve m(DEC^)=60∘m(\widehat{DEC}) = 60^\circ bulunur. BB ve DD noktaları farklı taraflarda olduğu için tepe açısı m(BED^)=160∘m(\widehat{BED}) = 160^\circ olan BDEBDE ikizkenar üçgeni elde edilir. Bu üçgenin taban açısı olan xx ise 180∘−160∘2=10∘\frac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk olarak ABCABC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
BEBE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: BE=AE=CEBE = AE = CE.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
2
ABEABE ikizkenar üçgeninde (AE=BEAE = BE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ABE^)=m(BAE^)=50∘m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = 50^\circ olur. Buradan dış açı m(BEC^)=50∘+50∘=100∘m(\widehat{BEC}) = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir ve bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3
Benzer şekilde, ADCADC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
DEDE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: DE=AE=CEDE = AE = CE.
Aynı hipotenüsü paylaşan diğer dik üçgende de muhteşem üçlü kuralı geçerlidir.
4
ADEADE ikizkenar üçgeninde (AE=DEAE = DE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ADE^)=m(DAE^)=30∘m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{DAE}) = 30^\circ olur. Buradan dış açı m(DEC^)=30∘+30∘=60∘m(\widehat{DEC}) = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
5
BDEBDE üçgeninin tepe açısını ve kenar ilişkisini belirleyelim.
m(BED^)=m(BEC^)+m(DEC^)=100∘+60∘=160∘m(\widehat{BED}) = m(\widehat{BEC}) + m(\widehat{DEC}) = 100^\circ + 60^\circ = 160^\circ olur. Ayrıca BE=AEBE = AE ve DE=AEDE = AE olduğundan BE=DEBE = DE elde edilir.
BB ve DD noktaları ACAC doğrusunun farklı taraflarında olduğundan EE noktasındaki açılar toplanır. İki kenar da hipotenüsün yarısına eşit olduğu için BDEBDE ikizkenar üçgendir.
6
BDEBDE ikizkenar üçgeninde taban açısı olan xx'i hesaplayalım.
2x+160∘=180∘  ⟹  2x=20∘  ⟹  x=10∘2x + 160^\circ = 180^\circ \implies 2x = 20^\circ \implies x = 10^\circ bulunur.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olup ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

Anahtar Kavram

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısına eşit olması (Muhteşem Üçlü) ve bu özelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgenlerde açı ilişkileri.
Soru 6Soru →

Ölçüleri derece cinsinden birer tam sayı olan tümler iki açıdan büyük olanının ölçüsü, küçük olan��nın ölçüsünün 44 katından küçüktür. Buna göre, bu açılardan küçük olanının alabileceği en küçük ölçü kaç derecedir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Küçük açının alabileceği en küçük ölçü 19 derecedir.
Tümler iki açının toplamı 90 derecedir. Küçük açı xx ise büyük açı 90−x90 - x olur. Sorudaki koşula göre 90−x<4x90 - x < 4x eşitsizliğinden 5x>905x > 90 ve x>18x > 18 bulunur. Derece cinsinden tam sayı olan küçük açının alabileceği en küçük değer bu durumda 19 derecedir.

Adım Adım Çözüm

1
Küçük açının ölçüsüne xx, büyük açının ölçüsüne yy diyelim ve bu iki açının tümler olması ilişkisini yazalım.
x+y=90∘  ⟹  y=90∘−xx + y = 90^{\circ} \implies y = 90^{\circ} - x
Tümler iki açının ölçüleri toplam�� 90∘90^{\circ}'dir.
2
Büyük açının ölçüsünün, küçük açının ölçüsünün 44 katından küçük olduğu bilgisini kullanarak eşitsizliği kuralım.
y<4x  ⟹  90∘−x<4xy < 4x \implies 90^{\circ} - x < 4x
Soruda büyük açının küçük açının 4 katından küçük olduğu açıkça belirtilmiştir.
3
Eşitsizlikte xx'li terimleri bir araya getirerek xx için alt sınırı bulalım.
90∘<5x  ⟹  x>18∘90^{\circ} < 5x \implies x > 18^{\circ}
−x-x terimi eşitsizliğin karşı tarafına +x+x olarak geçer ve her iki taraf 55'e bölünür.
4
xx açısının alabileceği en küçük tam sayı değerini belirleyelim.
x=19∘x = 19^{\circ}
Açı ölçüleri tam sayı olduğundan, 18∘18^{\circ}'den büyük olan en küçük tam sayı 19∘19^{\circ} olmalıdır.

Anahtar Kavram

Tümler Açı ve Açı Ölçüleri Eşitsizlikleri
Doğruda ve Üçgende Açılar Alıştırma Soruları — ALES | Examkin