Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Terim Sayısı

Ardışık tek pozitif tam sayılardan oluşan bir sayı dizisinin terim sayısı, bu dizinin en büyük terimi ile en küçük teriminin toplamının yarısından 1212 eksiktir. Bu dizideki terimlerin toplamı 220220 olduğuna göre, bu dizinin en büyük terimi kaçtır?

  1. A
    27
  2. B
    21
  3. 31Cevap
  4. D
    32
  5. E
    25

Cevap

En büyük terim 3131'dir.
Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile bu terimlerin ortalamasının çarpımına eşittir. Verilen N=A−12N = A - 12 ilişkisi toplam formülünde yerine konulduğunda terim sayısı 1010 ve ortalama 2222 olarak hesaplanır. Ardışık tek sayılarda en büyük terim Ortalama+Terim Sayısı−1\text{Ortalama} + \text{Terim Sayısı} - 1 formülünden 22+10−1=3122 + 10 - 1 = 31 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Terimlerin en büyüğü ile en küçüğünün toplamının yarısının, bu ardışık sayı dizisinin ortalaması (AA) olduğunu belirleme.
A=En Bu¨yu¨k+En Ku¨c¸u¨k2A = \frac{\text{En Büyük} + \text{En Küçük}}{2}
Ardışık sayı dizilerinde ilk ve son terimin toplamının yarısı dizinin aritmetik ortalamasını verir.
2
Terim sayısı (NN) ile ortalama (AA) arasındaki ilişkiyi yazma ve toplam formülünü oluşturma.
N=A−12  ⟹  A=N+12N = A - 12 \implies A = N + 12 ve Toplam =A×N=220= A \times N = 220
Soruda terim sayısının ortalamadan 1212 eksik olduğu verilmiştir. Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortalamanın çarpımına eşittir.
3
Denklemi çözerek terim sayısını (NN) bulma.
(N+12)×N=220  ⟹  N2+12N−220=0  ⟹  (N+22)(N−10)=0  ⟹  N=10(N + 12) \times N = 220 \implies N^2 + 12N - 220 = 0 \implies (N+22)(N-10)=0 \implies N=10
Terim sayısı pozitif bir tam sayı olmak zorunda olduğundan negatif kök (N=−22N = -22) elenir ve N=10N = 10 bulunur.
4
Bulunan terim sayısı değerini kullanarak ortalamayı (AA) bulma.
A=10+12=22A = 10 + 12 = 22
A=N+12A = N + 12 bağıntısında N=10N = 10 yazılır.
5
Ortalama ve terim sayısını kullanarak en büyük terimi (xNx_N) hesaplama.
xN=A+N−1=22+10−1=31x_N = A + N - 1 = 22 + 10 - 1 = 31
Ardışık tek sayılar 22'şer 22'şer arttığı için en büyük terim ortalamanın terim sayısının 11 eksiği kadar fazlasına eşittir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ve ortalama ilişkisi

İpuçları

1
Herhangi bir ardışık sayı dizisinde en büyük terim ile en küçük terimin toplamının yarısı, dizinin aritmetik ortalamasını verir.
2
Dizinin toplamı, terim sayısı ile bu ortalamanın çarpımına eşittir. Terim sayısına NN ve ortalamaya AA dersek, N=A−12N = A - 12 ve N×A=220N \times A = 220 denklemlerini elde ederiz.
3
N×(N+12)=220N \times (N + 12) = 220 denklemini sağlayan pozitif NN tam sayısını bulduktan sonra, en büyük terimi bulmak için ortalamadan itibaren ardışık tek sayıların nasıl dağıldığını (en büyük terim A+N−1A + N - 1 formülüyle bulunur) düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, terim sayısı ile ortalaması arasında farklı bir ilişki tanımlanmış olan ardışık çift sayı dizilerinde en küçük terimi bulma soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklem kurmak yerine 220220 sayısının çarpanlarını inceleyebiliriz. Aralarındaki fark 1212 olan iki sayının çarpımı 220220 olmalıdır. Bu sayılar 1010 ve 2222 dir. Terim sayısı ortalamadan küçük olduğundan terim sayısı 1010, ortalama ise 2222 olur. Ardışık tek sayıları ortalama olan 2222'nin etrafına simetrik olarak yerleştirirsek, ortadaki iki terim 2121 ve 2323 olur. Toplam 1010 terim olduğu için 2323'ten sonra 44 terim daha ekleyerek en büyük terimi 23+4×2=3123 + 4 \times 2 = 31 olarak bulabiliriz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Terim Sayısı

Bu konudan daha fazla soru